Determine o volume abaixo do plano
e acima da região, no primeiro quadrante, limitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o volume que está abaixo do plano
e acima da região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso, especificamente integrais duplas para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Estamos no primeiro quadrante, então
e
são positivos. As parábolas que delimitam a região são
e
. Para achar os limites de
, vamos encontrar onde essas duas parábolas se interceptam.
Passo 3
Igualando as duas equações das parábolas:
Resolvendo para
:
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
(limite esquerdo) até
(limite direito). Agora, precisamos considerar a função que define o plano, que é
.
Passo 5
O volume que queremos calcular está entre
(plano base) e
(plano dado). Então, a altura do volume em cada ponto
é
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume:
Aqui,
é a altura, e os limites de integração para
e
foram determinados nos passos anteriores.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a
:
Calculando cada integral:
Resposta
O volume solicitado é
unidades cúbicas.