Determine o volume abaixo do plano z - y = 0 e acima da região, no primeiro quadrante, limitada pelas parábolas x = y^2 e x = 2 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o volume que está abaixo do plano e acima da região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso, especificamente integrais duplas para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Estamos no primeiro quadrante, então e são positivos. As parábolas que delimitam a região são e . Para achar os limites de , vamos encontrar onde essas duas parábolas se interceptam.

Passo 3

Igualando as duas equações das parábolas:
Resolvendo para :
Então, varia de 0 a 1.

Passo 4

Para cada valor de entre 0 e 1, varia de (limite esquerdo) até (limite direito). Agora, precisamos considerar a função que define o plano, que é .

Passo 5

O volume que queremos calcular está entre (plano base) e (plano dado). Então, a altura do volume em cada ponto é .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume:
Aqui, é a altura, e os limites de integração para e foram determinados nos passos anteriores.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a :
Calculando cada integral:

Resposta

O volume solicitado é unidades cúbicas.

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