Determine o volume do cone entre e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um cone definido pela equação entre as alturas e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas, que é uma ferramenta útil para encontrar volumes de formas como cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cone. A equação descreve um cone de abertura de 45 graus. Em coordenadas cilíndricas, onde e é o ângulo, a equação fica . Isso simplifica nossos cálculos.

Passo 3

Para encontrar o volume entre e , vamos usar a fórmula de volume em coordenadas cilíndricas:
Aqui, é o fator que aparece devido à mudança de coordenadas, e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos definir os limites das integrais:
  • varia de a para cobrir toda a volta do cone.
  • varia de a de acordo com o enunciado.
  • Para cada , como , isso significa que varia de a .

Passo 5

Agora, substituímos esses limites na fórmula do volume:
Mas, como varia de a , ajustamos a ordem das integrais:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 7

Substituímos esse resultado na integral do meio:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Passo 9

Por fim, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

O volume do cone entre e é unidades cúbicas.

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