Determine o volume do cone
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um cone definido pela equação
entre as alturas
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas, que é uma ferramenta útil para encontrar volumes de formas como cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cone. A equação
descreve um cone de abertura de 45 graus. Em coordenadas cilíndricas, onde
e
é o ângulo, a equação fica
. Isso simplifica nossos cálculos.
Passo 3
Para encontrar o volume entre
e
, vamos usar a fórmula de volume em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
é o fator que aparece devido à mudança de coordenadas, e
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos definir os limites das integrais:
-
varia de a para cobrir toda a volta do cone. -
varia de a de acordo com o enunciado. - Para cada
, como , isso significa que varia de a .
Passo 5
Agora, substituímos esses limites na fórmula do volume:
Mas, como
varia de
a
, ajustamos a ordem das integrais:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Substituímos esse resultado na integral do meio:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 9
Por fim, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
O volume do cone entre
e
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região delimitada por
.
Calcule o volume abaixo do plano
e acima da região
.