Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é assim:
Aqui, estamos no lance de Cálculo Integral, especificamente com integrais de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a uma variável (digamos, o
) e depois na outra (o
).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integração com respeito ao
. Pense que o
é só uma constante enquanto integramos em relação ao
. Então, vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui usamos a propriedade da linearidade da integral, que permite separar a soma das integrais.
Passo 3
Agora, vamos calcular essas integrais:
Então, juntando tudo, a antiderivada fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 3 para o
:
Simplificando isso:
Passo 5
Agora que já integramos em relação ao
, vamos integrar o resultado em relação ao
:
Isso dá:
Passo 6
Calculando essas integrais:
Então, a antiderivada em relação ao
fica:
Passo 7
Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 3 para o
:
Calculando isso:
Resposta
O valor da integral dupla é 81.
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com densidade
.
Encontre a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
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entre
e
.