integral0^3 integral0^3(x^2 y+y^2 x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é assim:
integral0^3 integral0^3(x^2 y + y^2 x) dx , dy
Aqui, estamos no lance de Cálculo Integral, especificamente com integrais de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a uma variável (digamos, o ) e depois na outra (o ).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração com respeito ao integral (x^2 y + y^2 x) dx = y integral x^2 dx + y^2 integral x , dx . Pense que o é só uma constante enquanto integramos em relação ao . Então, vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui usamos a propriedade da linearidade da integral, que permite separar a soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos calcular essas integrais:
y integral x^2 dx = y (x^33)
y^2 integral x , dx = y^2 (x^22)
Então, juntando tudo, a antiderivada fica:
y x^33 + y^2 x^22 + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 3 para o [y (3)^33 + y^2 (3)^22] - [y (0)^33 + y^2 (0)^22] :
27y3 + 9y^22 = 9y + 9y^22
Simplificando isso:

Passo 5

Agora que já integramos em relação ao integral0^3 (9y + 9y^22) dy , vamos integrar o resultado em relação ao 9 integral y , dy + 92 integral y^2 , dy :
Isso dá:

Passo 6

Calculando essas integrais:
9 integral y , dy = 9 (y^22) = 9y^22
92 integral y^2 , dy = 92 (y^33) = 3y^32
Então, a antiderivada em relação ao 9y^22 + 3y^32 fica:

Passo 7

Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 3 para o [9 (3)^22 + 3 (3)^32] - [9 (0)^22 + 3 (0)^32] :
812 + 812 = 81
Calculando isso:

Resposta

O valor da integral dupla é 81.

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