integral0^1 integral0^1(x^2+2 x y+y^2) d x d y

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício que pede para calcular uma integral dupla: integral0^1 integral0^1(x^2+2 x y+y^2) d x d y. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Vamos precisar integrar a função f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função f(x, y) em relação a x, tratando y como uma constante. A gente tem:
integral0^1 (x^2 + 2xy + y^2) dx
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral x^2 dx = x^33
  2. integral 2xy dx = 2y integral x dx = 2y cdot x^22 = yx^2
  3. integral y^2 dx = y^2 integral dx = y^2x
Então, a antiderivada em relação a x fica:
x^33 + yx^2 + y^2x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa antiderivada de x = 0 até x = 1:
[1^33 + y(1^2) + y^2(1)] - [0^33 + y(0^2) + y^2(0)] = 13 + y + y^2
Então, a integral em relação a x resulta em:
13 + y + y^2

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a y, de 0 a 1:
integral0^1 (13 + y + y^2) dy
Mais uma vez, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 13 dy = 13y
  2. integral y dy = y^22
  3. integral y^2 dy = y^33
Então, a antiderivada em relação a y fica:
13y + y^22 + y^33

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada de y = 0 até y = 1:
[13(1) + 1^22 + 1^33] - [13(0) + 0^22 + 0^33] = 13 + 12 + 13
Somando as frações:
13 + 12 + 13 = 26 + 36 + 26 = 76

Resposta

O valor da integral dupla é dfrac76.

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