Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função
e descobrir para quais valores de
essa série converge. A matéria que estamos trabalhando aqui é séries de potências, mais especificamente a série geométrica. Vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e como aplicá-la para essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a forma padrão da série geométrica. A série geométrica tem a forma:
onde
é a razão da série. Nosso objetivo é manipular a função
para que ela se encaixe nessa estrutura.
Passo 3
Observando a função
, podemos reescrevê-la assim:
Agora, ela está na forma
, onde
.
Passo 4
Sabemos que a série geométrica
pode ser expandida como:
desde que a razão
satisfaça
para garantir a convergência da série.
Passo 5
Substituindo
por
na série geométrica, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão
:
Então, a série fica:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica
converge quando
. Aqui, nossa razão
, então:
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Determine o volume da maior caixa retangular de lados paralelos aos planos coordenados no primeiro octante, que possa ser inscrita no elipsoide de equação cartesiana
.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Use a equação
para determinar uma representação em série de potências para
. Qual é o raio de convergência?