Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir para quais valores de essa série converge. A matéria que estamos trabalhando aqui é séries de potências, mais especificamente a série geométrica. Vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e como aplicá-la para essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a forma padrão da série geométrica. A série geométrica tem a forma:
onde é a razão da série. Nosso objetivo é manipular a função para que ela se encaixe nessa estrutura.

Passo 3

Observando a função , podemos reescrevê-la assim:
Agora, ela está na forma , onde .

Passo 4

Sabemos que a série geométrica pode ser expandida como:
desde que a razão satisfaça para garantir a convergência da série.

Passo 5

Substituindo por na série geométrica, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão :
Então, a série fica:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando . Aqui, nossa razão , então:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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Use a equação
para determinar uma representação em série de potências para . Qual é o raio de convergência?