Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série de potências: . Vamos usar o teste da razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o teste da razão. Ele ajuda a determinar se uma série converge ou não, olhando para o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série: .
Passo 4
Agora, aplicamos o teste da razão calculando :
Passo 5
Vamos simplificar o limite:
Como o limite é 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .