Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série de potências: . Vamos usar o teste da razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o teste da razão. Ele ajuda a determinar se uma série converge ou não, olhando para o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série: .

Passo 4

Agora, aplicamos o teste da razão calculando :

Passo 5

Vamos simplificar o limite:
Como o limite é 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .

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Pondo , determine .
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
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