Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série de potências: . Vamos usar o teste da razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o teste da razão. Ele ajuda a determinar se uma série converge ou não, olhando para o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série: .

Passo 4

Agora, aplicamos o teste da razão calculando | an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1(2n+1)! | = | x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1 | = | x^2(2n+3)(2n+2) | :

Passo 5

Vamos simplificar o limite:
limn to infty | x^2(2n+3)(2n+2) | = limn to infty |x^2|4n^2 + 10n + 6 = 0
Como o limite é 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .

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