Julgue a veracidade das afirmações abaixo, assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique cada uma de suas respostas.
(a) ( ) Se os vetores e são ortogonais, então ou .
(b) ( ) Se e tem a mesma norma, então e são ortogonais.
© ( ) O triângulo determinado pelos pontos e é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice .
(d) ( ) , com , então .
(e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores é 4 .

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos cinco afirmações sobre vetores e triângulos no espaço tridimensional. O conteúdo envolve conceitos como ortogonalidade de vetores, norma de vetores, produto interno, e cálculo de áreas usando produto vetorial. Para resolver, vamos precisar aplicar definições de produto escalar, propriedades de vetores ortogonais, e fórmulas de área de triângulos no espaço.

Passo 2

Afirmação (a):
“Se os vetores e são ortogonais, então ou .”
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar de e :
Para que sejam ortogonais:
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b):
“Se e têm a mesma norma, então e são ortogonais.”
Vamos usar a propriedade de que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Calculamos:
Sabendo que , temos , então:
Logo, os vetores e são ortogonais. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação ©:
“O triângulo determinado pelos pontos , e é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice .”
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, indicando um ângulo reto no vértice . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d):
“Se , com , então .”
Vamos analisar a igualdade:
Isso significa que é ortogonal a . No entanto, isso não necessariamente implica que (ou seja, ). Existem infinitas possibilidades onde a diferença não é nula, mas ainda ortogonal a . Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

Afirmação (e):
“A área do triângulo determinado pelos vetores e é 4.”
A área de um triângulo formado por dois vetores é dada por:
Á
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos a norma desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Como 3.24 não é igual a 4, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
© V
(d) F
(e) F

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Calcular a derivada das seguintes funções:
Sejam . Quais vetores, se é que existem, são:
(a) perpendiculares? Justifique.
(b) paralelos? Justifique.
Se e são vetores tais que e , determine .
Determine o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto e os três vértices adjacentes nos pontos e .