Vamos resumir o que precisamos fazer: temos cinco afirmações sobre vetores e triângulos no espaço tridimensional. O conteúdo envolve conceitos como ortogonalidade de vetores, norma de vetores, produto interno, e cálculo de áreas usando produto vetorial. Para resolver, vamos precisar aplicar definições de produto escalar, propriedades de vetores ortogonais, e fórmulas de área de triângulos no espaço.
Passo 2
Afirmação (a): “Se os vetores e são ortogonais, então ou .”
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar de e :
Para que sejam ortogonais:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Se e têm a mesma norma, então e são ortogonais.”
Vamos usar a propriedade de que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Calculamos:
Sabendo que , temos , então:
Logo, os vetores e são ortogonais. A afirmação é verdadeira.
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, indicando um ângulo reto no vértice . Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “Se , com , então .”
Vamos analisar a igualdade:
Isso significa que é ortogonal a . No entanto, isso não necessariamente implica que (ou seja, ). Existem infinitas possibilidades onde a diferença não é nula, mas ainda ortogonal a . Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 6
Afirmação (e): “A área do triângulo determinado pelos vetores e é 4.”
A área de um triângulo formado por dois vetores é dada por: