Julgue a veracidade das afirmações abaixo, assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique cada uma de suas respostas.
(a) ( ) Se os vetores
e
são ortogonais, então
ou
.
(b) ( ) Se
e
tem a mesma norma, então
e
são ortogonais.
© ( ) O triângulo determinado pelos pontos
e
é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice
.
(d) ( )
, com
, então
.
(e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores
é 4 .
(a) ( ) Se os vetores
(b) ( ) Se
© ( ) O triângulo determinado pelos pontos
(d) ( )
(e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos cinco afirmações sobre vetores e triângulos no espaço tridimensional. O conteúdo envolve conceitos como ortogonalidade de vetores, norma de vetores, produto interno, e cálculo de áreas usando produto vetorial. Para resolver, vamos precisar aplicar definições de produto escalar, propriedades de vetores ortogonais, e fórmulas de área de triângulos no espaço.
Passo 2
Afirmação (a):
“Se os vetores e
são ortogonais, então
ou
.”
“Se os vetores
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar de
e
:
Para que sejam ortogonais:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b):
“Se e
têm a mesma norma, então
e
são ortogonais.”
“Se
Vamos usar a propriedade de que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Calculamos:
Sabendo que
, temos
, então:
Logo, os vetores
e
são ortogonais. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação ©:
“O triângulo determinado pelos pontos ,
e
é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice
.”
“O triângulo determinado pelos pontos
Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
:
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, indicando um ângulo reto no vértice
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d):
“Se , com
, então
.”
“Se
Vamos analisar a igualdade:
Isso significa que
é ortogonal a
. No entanto, isso não necessariamente implica que
(ou seja,
). Existem infinitas possibilidades onde a diferença não é nula, mas ainda ortogonal a
. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 6
Afirmação (e):
“A área do triângulo determinado pelos vetores e
é 4.”
“A área do triângulo determinado pelos vetores
A área de um triângulo formado por dois vetores é dada por:
Primeiro, calculamos o produto vetorial
:
Agora, calculamos a norma desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Como 3.24 não é igual a 4, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
© V
(d) F
(e) F
(b) V
© V
(d) F
(e) F