Julgue a veracidade das afirmações abaixo, assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique cada uma de suas respostas.
(a) ( ) Se os vetores u = (x, 1, 3) e v = (x, -1, -1) são ortogonais, então x = 2 ou x = -2.
(b) ( ) Se u e v tem a mesma norma, então u - v e u + v são ortogonais.
© ( ) O triângulo determinado pelos pontos A = (1, 0, -1), B = (2, -1, -3) e C = (7, 0, 2) é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.
(d) ( ) Se<u,v> = <u,w>, com u ≠ 0 , então v = w.
(e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores u = i + j + k e v = -2i + 3j - k é 4 .

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos cinco afirmações sobre vetores e triângulos no espaço tridimensional. O conteúdo envolve conceitos como ortogonalidade de vetores, norma de vetores, produto interno, e cálculo de áreas usando produto vetorial. Para resolver, vamos precisar aplicar definições de produto escalar, propriedades de vetores ortogonais, e fórmulas de área de triângulos no espaço.

Passo 2

Afirmação (a):
“Se os vetores u = (x, 1, 3) e v = (x, -1, -1) são ortogonais, então x = 2 ou x = -2.”
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar de u e v:
Para que sejam ortogonais:
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b):
“Se u e v têm a mesma norma, então u - v e u + v são ortogonais.”
Vamos usar a propriedade de que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Calculamos:
Sabendo que , temos , então:
Logo, os vetores u - v e u + v são ortogonais. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação ©:
“O triângulo determinado pelos pontos , e C = (7, 0, 2) é um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.”
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, indicando um ângulo reto no vértice A. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d):
“Se , com u ≠ 0 , então .”
Vamos analisar a igualdade:
Isso significa que u é ortogonal a . No entanto, isso não necessariamente implica que (ou seja, ). Existem infinitas possibilidades onde a diferença não é nula, mas ainda ortogonal a u. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

Afirmação (e):
“A área do triângulo determinado pelos vetores e é 4.”
A área de um triângulo formado por dois vetores é dada por:
Á
Primeiro, calculamos o produto vetorial u x v:
Agora, calculamos a norma desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Como 3.24 não é igual a 4, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
© V
(d) F
(e) F

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