Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla:
O conteúdo aqui é sobre integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar:
  1. Esboçar a região de integração para entender onde estamos integrando.
  2. Inverter a ordem de integração, ou seja, trocar os limites de e .
  3. Calcular a nova integral com a ordem invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos variando de 0 a 9 e, para cada , vai de até 3.
Vamos entender isso graficamente:
  • A curva é equivalente a .
  • é uma reta vertical.
Então, a região de integração está abaixo de , acima de , à direita da curva e à esquerda de .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Ao invés de integrar primeiro em de a 3 e depois em de 0 a 9, vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • varia de 0 a 3 (já que começa em 0 quando e vai até 3).
  • Para cada , varia de 0 até (já que é a curva inferior).
Então, a integral com a ordem invertida fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral iterada com a ordem invertida.
Primeiro, integramos em :
Agora, integramos o resultado em :
Calculando os valores:
Somando:

Resposta

A integral dupla calculada é igual a 44,55.

Exercícios relacionados

Determine o volume da região abaixo do gráfico de e acima do plano .
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :