Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla:
O conteúdo aqui é sobre integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar:
- Esboçar a região de integração para entender onde estamos integrando.
- Inverter a ordem de integração, ou seja, trocar os limites de
e . - Calcular a nova integral com a ordem invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos
variando de 0 a 9 e, para cada
,
vai de
até 3.
Vamos entender isso graficamente:
- A curva
é equivalente a . -
é uma reta vertical.
Então, a região de integração está abaixo de
, acima de
, à direita da curva
e à esquerda de
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Ao invés de integrar primeiro em
de
a 3 e depois em
de 0 a 9, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
varia de 0 a 3 (já que começa em 0 quando e vai até 3). - Para cada
, varia de 0 até (já que é a curva inferior).
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral iterada com a ordem invertida.
Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos o resultado em
:
Calculando os valores:
Somando:
Resposta
A integral dupla calculada é igual a 44,55.
Exercícios relacionados
Determine o volume da região abaixo do gráfico de
e acima do plano
.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
: