Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: integral0^9 integralraizy^3(x+y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla:
integral0^9 integralraizy^3(x+y) , dx , dy
O conteúdo aqui é sobre integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar:
  1. Esboçar a região de integração para entender onde estamos integrando.
  2. Inverter a ordem de integração, ou seja, trocar os limites de e .
  3. Calcular a nova integral com a ordem invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos variando de 0 a 9 e, para cada , vai de até 3.
Vamos entender isso graficamente:
  • A curva é equivalente a .
  • é uma reta vertical.
Então, a região de integração está abaixo de , acima de , à direita da curva e à esquerda de .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Ao invés de integrar primeiro em integral0^3 integral0^x^2 (x + y) , dy , dx de a 3 e depois em de 0 a 9, vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • varia de 0 a 3 (já que começa em 0 quando e vai até 3).
  • Para cada , varia de 0 até (já que é a curva inferior).
Então, a integral com a ordem invertida fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral iterada com a ordem invertida.
Primeiro, integramos em integral0^x^2 (x + y) , dy = integral0^x^2 x , dy + integral0^x^2 y , dy = x cdot y g|0^x^2 + y^22 g|0^x^2 = x cdot x^2 + (x^2)^22 = x^3 + x^42 :
integral0^3 ( x^3 + x^42 ) , dx = integral0^3 x^3 , dx + 12 integral0^3 x^4 , dx = x^44 g|0^3 + 12 cdot x^55 g|0^3 = 814 + 24310
Agora, integramos o resultado em 814 = 20,25 e 24310 = 24,3 :
20,25 + 24,3 = 44,55
Calculando os valores:
Somando:

Resposta

A integral dupla calculada é igual a 44,55.

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