Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série sum an converge, então sum|an| converge.

Passo 1

Vamos entender a questão: Queremos saber se, sempre que a série sum an converge, a série formada pelos valores absolutos sum|an| também converge. Esse tema está relacionado à convergência de séries e ao conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. No entanto, é possível que uma série convirja mas não absolutamente, ou seja, a série dos valores absolutos diverge. Isso é conhecido como convergência condicional.

Passo 3

Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos pensar em uma série que converge, mas cuja série dos valores absolutos não converge.

Passo 4

Um clássico exemplo é a série alternada sum (-1)^nn. Essa série converge por ser uma série alternada que satisfaz os critérios do teste da série alternada, mas a série dos valores absolutos sum 1n é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a série sum (-1)^nn, que converge, mas sum |(-1)^nn| = sum 1n diverge.

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