Esboce a região de integração e calcule as integrais: integral duplaD x e^y d x d y, onde D é a região delimitada pela parábola y=x^2, pelo eixo O x e pela reta x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla integral duplaD x e^y ,dx,dy. A região D é delimitada pela parábola y = x^2, pelo eixo Ox (que é y = 0) e pela reta vertical x = 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar essa região e entender como configurar os limites da integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A parábola y = x^2 abre para cima e passa pela origem. O eixo Ox é simplesmente a linha onde y = 0. A reta x = 1 é uma linha vertical que corta a parábola quando x = 1. Vamos encontrar o ponto de interseção entre y = x^2 e x = 1 substituindo:
y = (1)^2 = 1
Então, a parábola e a reta se encontram em (1,1). A região D é, portanto, a área entre o eixo Ox, a parábola e a reta x = 1.

Passo 3

Agora, para calcular a integral dupla, precisamos definir os limites de integração. Podemos integrar primeiro em relação a x ou a y. Vamos escolher integrar primeiro em relação a y.
Para um x fixo entre 0 e 1, y varia de 0 (eixo Ox) até y = x^2 (parábola). Então, os limites ficam:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de 0 a x^2

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
integralx=0^1 integraly=0^x^2 x e^y ,dy,dx
Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a y.

Passo 5

A integral interna é:
integral0^x^2 x e^y ,dy
Como x é constante em relação a y, podemos tirá-lo da integral:
x integral0^x^2 e^y ,dy
A integral de e^y em relação a y é e^y, então:
x [ e^y ]0^x^2 = x ( e^x^2 - e^0 ) = x ( e^x^2 - 1 )

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 x ( e^x^2 - 1 ) ,dx = integral0^1 x e^x^2 ,dx - integral0^1 x ,dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver integral0^1 x e^x^2 ,dx. Fazemos uma substituição u = x^2, então du = 2x,dx ou x,dx = du2.
Substituindo:
12 integralu=0^1 e^u ,du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Passo 8

Agora, resolvemos integral0^1 x ,dx:
12 x^2 g|0^1 = 12 (1^2 - 0^2) = 12 (1 - 0) = 12

Passo 9

Finalmente, juntando as partes:
12 (e - 1) - 12 = 12 e - 12 - 12 = 12 e - 1

Resposta

A integral dupla vale 12 e - 1.

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