Esboce a região de integração e calcule as integrais: , onde é a região delimitada pela parábola , pelo eixo e pela reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . A região é delimitada pela parábola , pelo eixo (que é ) e pela reta vertical . Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar essa região e entender como configurar os limites da integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A parábola abre para cima e passa pela origem. O eixo é simplesmente a linha onde . A reta é uma linha vertical que corta a parábola quando . Vamos encontrar o ponto de interseção entre e substituindo:
Então, a parábola e a reta se encontram em . A região é, portanto, a área entre o eixo , a parábola e a reta .
Passo 3
Agora, para calcular a integral dupla, precisamos definir os limites de integração. Podemos integrar primeiro em relação a ou a . Vamos escolher integrar primeiro em relação a .
Para um fixo entre e , varia de (eixo ) até (parábola). Então, os limites ficam:
varia de a
Para cada , varia de a
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a .
Passo 5
A integral interna é:
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é , então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 7
Primeiro, vamos resolver . Fazemos uma substituição , então ou .