Usando a Transformada de Laplace resolva os seguintes sistemas:
{ x'' - 2y = 2, y' + x = 5e^(2t) + 1, x(0) = 2, x'(0) = 2, y(0) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem duas equações envolvendo as funções e , e também algumas condições iniciais. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace nas equações e depois resolver para e , que são as transformadas de e , respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace na primeira equação do sistema:
Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
Aplicando isso na equação:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação:
A Transformada de Laplace da derivada primeira é:
E sabemos que:
Aplicando essas transformadas na equação:

Passo 4

Vamos reorganizar as equações transformadas para facilitar a resolução. Da primeira equação transformada:
Podemos isolar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir na segunda equação transformada:
Vamos simplificar essa equação:
Agora, isolamos :
Simplificando:
Divide ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar :
Calculando cada parte:
Então:
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:

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