Usando a Transformada de Laplace resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem duas equações envolvendo as funções
e
, e também algumas condições iniciais. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace nas equações e depois resolver para
e
, que são as transformadas de
e
, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace na primeira equação do sistema:
Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação:
A Transformada de Laplace da derivada primeira é:
E sabemos que:
Aplicando essas transformadas na equação:
Passo 4
Vamos reorganizar as equações transformadas para facilitar a resolução. Da primeira equação transformada:
Podemos isolar
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na segunda equação transformada:
Vamos simplificar essa equação:
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Divide ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Calculando cada parte:
Então:
Simplificando:
Resposta
As soluções do sistema são: