Esboce a região cuja a área é dada pela integral
integralpi^3 pi / 4 integral1^2 r d r d theta
e a calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos que esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla em coordenadas polares:
integralpi^3pi4 integral1^2 r , dr , dtheta
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares e entender como calcular áreas utilizando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração:
  • Para : varia de 1 a 2. Isso significa que o raio está entre 1 e 2 unidades. Em coordenadas polares, representa a distância do ponto à origem.
  • Para : varia de (180°) a (135°). Normalmente, aumenta no sentido anti-horário, mas aqui o limite inferior é maior que o superior, indicando que vamos mover no sentido horário.

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região com base nesses limites:
  1. Raio : Entre 1 e 2, temos um anel ou anelaria cujo raio interno é 1 e o externo é 2.
  2. Ângulo : De a , estamos indo de 180° a 135°, ou seja, movendo no sentido horário.
Ent��o, a região é a parte do anel que está entre 135° e 180°, movendo-se no sentido horário.

Passo 4

Vamos calcular a área usando a integral dada. A fórmula geral para a área em coordenadas polares é:
Área = integraltheta1^theta2 integralr1^r2 r , dr , dtheta Á
Aplicando os valores do exercício:
Área = integralpi^3pi4 integral1^2 r , dr , dtheta Á
Primeiro, integramos em relação a integral1^2 r , dr = 12 r^2 |1^2 = 12(4 - 1) = 32 :

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integralpi^3pi4 32 , dtheta = 32 ( 3pi4 - pi ) = 32 ( -pi4 ) = -3pi8 :
Área = 3pi8
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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