Esboce a região cuja a área é dada pela integral
e a calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos que esboçar a região cuja área é dada pela integral dupla em coordenadas polares:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares e entender como calcular áreas utilizando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração:
  • Para : varia de 1 a 2. Isso significa que o raio está entre 1 e 2 unidades. Em coordenadas polares, representa a distância do ponto à origem.
  • Para : varia de (180°) a (135°). Normalmente, aumenta no sentido anti-horário, mas aqui o limite inferior é maior que o superior, indicando que vamos mover no sentido horário.

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região com base nesses limites:
  1. Raio : Entre 1 e 2, temos um anel ou anelaria cujo raio interno é 1 e o externo é 2.
  2. Ângulo : De a , estamos indo de 180° a 135°, ou seja, movendo no sentido horário.
Ent��o, a região é a parte do anel que está entre 135° e 180°, movendo-se no sentido horário.

Passo 4

Vamos calcular a área usando a integral dada. A fórmula geral para a área em coordenadas polares é:
Á
Aplicando os valores do exercício:
Á
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a :
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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