Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima de D.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos determinar o volume de um sólido que está abaixo do semi-cone dado pela equação e acima da região . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar volumes de sólidos.

Passo 2

Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as variáveis e são expressas em termos de (a distância do ponto à origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo ). A mudança para coordenadas polares simplifica a equação do semi-cone e a região , especialmente se for um círculo.

Passo 3

Na coordenadas polares, a equação do semi-cone se torna , já que . A região também será definida em termos de e . Supondo que seja um círculo de raio centrado na origem, os limites para serão de 0 a , e para , de 0 a .

Passo 4

O volume do sólido pode ser encontrado usando a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo por :
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, o volume é:
Então, o volume do sólido é .

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