Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
e acima de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos determinar o volume de um sólido que está abaixo do semi-cone dado pela equação
e acima da região
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar volumes de sólidos.
Passo 2
Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as variáveis
e
são expressas em termos de
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo
). A mudança para coordenadas polares simplifica a equação do semi-cone e a região
, especialmente se
for um círculo.
Passo 3
Na coordenadas polares, a equação do semi-cone
se torna
, já que
. A região
também será definida em termos de
e
. Supondo que
seja um círculo de raio
centrado na origem, os limites para
serão de 0 a
, e para
, de 0 a
.
Passo 4
O volume
do sólido pode ser encontrado usando a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo
por
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais, o volume é:
Então, o volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Uma lâmina fina ocupa toda a região
limitada pela reta
e pela parábola
. Ela possui função densidade de massa dada por
. Determine a massa dessa lâmina.
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.