Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma integral dupla que precisa ser resolvida usando coordenadas polares. Primeiro, vamos desenhar a região onde vamos integrar e depois calcular a integral passo a passo. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria de círculos e como trocar para coordenadas polares.
Passo 2
Vamos começar identificando a região de integração. Olhando os limites da integral:
varia de -1 a 1.
Para cada , varia de a .
Isso descreve um círculo com raio 1 centrado na origem. É tipo uma circunferência onde todos os pontos estão a uma distância de 1 do centro (0,0).
Passo 3
Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por:
: a distância do ponto até a origem.
: o ângulo que o ponto faz com o eixo positivo de .
As relações entre coordenadas cartesianas () e polares () são:
E, claro,
Passo 4
Vamos reescrever a integral usando coordenadas polares. A função dentro da integral é . Substituindo por polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares vira . Então, a integral original:
Passa a ser:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
A integral de em relação a é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral externa, que é em relação a integral0^2pi 15 , dtheta = 15 cdot (2pi - 0) = 2pi5 :