Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais: integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma integral dupla que precisa ser resolvida usando coordenadas polares. Primeiro, vamos desenhar a região onde vamos integrar e depois calcular a integral passo a passo. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria de círculos e como trocar para coordenadas polares.

Passo 2

Vamos começar identificando a região de integração. Olhando os limites da integral:
  • varia de -1 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve um círculo com raio 1 centrado na origem. É tipo uma circunferência onde todos os pontos estão a uma distância de 1 do centro (0,0).

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo que o ponto faz com o eixo positivo de .
As relações entre coordenadas cartesianas ( ) e polares ( ) são:
  • E, claro,

Passo 4

Vamos reescrever a integral usando coordenadas polares. A função dentro da integral é (x^2 + y^2)^3/2 = (r^2)^3/2 = r^3 . Substituindo por polares:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 dy , dx
Além disso, o elemento de área integral0^2pi integral0^1 r^3 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^4 , dr , dtheta em coordenadas polares vira . Então, a integral original:
Passa a ser:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 r^4 , dr :
r^55 |0^1 = 1^55 - 0^55 = 15
A integral de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral externa, que é em relação a integral0^2pi 15 , dtheta = 15 cdot (2pi - 0) = 2pi5 :

Resposta

A integral vale .

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