Uma lâmina fina ocupa toda a região D limitada pela reta y = x + 1 e pela parábola y = x^2 - 1. Ela possui função densidade de massa dada por rho(x, y) = x^2. Determine a massa dessa lâmina.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a massa de uma lâmina fina que está toda na região , delimitada pela reta e pela parábola . A lâmina tem uma densidade de massa que depende de , dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular a massa distribuída em uma região.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender bem a região onde a lâmina está localizada. Vamos achar os pontos de interseção entre a reta e a parábola para saber os limites de integração.
Vamos igualar as duas equações:
Isso simplifica para:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, os limites de vão de a .

Passo 3

Agora, para cada valor de nesse intervalo, varia entre a parábola (parte de baixo) e a reta (parte de cima). Então, os limites de são de a .

Passo 4

A massa da lâmina pode ser encontrada usando a integral dupla da função densidade sobre a região :
Substituindo os limites que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em primeiro:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos calcular essa integral termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Resolvendo cada termo:

Passo 8

Vamos simplificar:
Com denominadores comuns:
Calculando:
Convertendo para fração:

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa.

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