Uma lâmina fina ocupa toda a região
limitada pela reta
e pela parábola
. Ela possui função densidade de massa dada por
. Determine a massa dessa lâmina.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a massa de uma lâmina fina que está toda na região
, delimitada pela reta
e pela parábola
. A lâmina tem uma densidade de massa que depende de
, dada por
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular a massa distribuída em uma região.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender bem a região
onde a lâmina está localizada. Vamos achar os pontos de interseção entre a reta e a parábola para saber os limites de integração.
Vamos igualar as duas equações:
Isso simplifica para:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, os limites de
vão de
a
.
Passo 3
Agora, para cada valor de
nesse intervalo,
varia entre a parábola
(parte de baixo) e a reta
(parte de cima). Então, os limites de
são de
a
.
Passo 4
A massa
da lâmina pode ser encontrada usando a integral dupla da função densidade
sobre a região
:
Substituindo os limites que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos calcular essa integral termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Resolvendo cada termo:
Passo 8
Vamos simplificar:
Com denominadores comuns:
Calculando:
Convertendo para fração:
Resposta
A massa da lâmina é
unidades de massa.
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e acima de
.