A. Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo do plano .
usando coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que fica acima do cone e abaixo do plano . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com figuras como cones e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Elas são representadas por , onde:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano ,
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a equação do cone em coordenadas esféricas. Substituindo:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (não é zero):
Então, o cone corresponde a .
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração. O sólido está limitado pelo cone e pelo plano .
No plano , a coordenada esférica , então .
Como estamos acima do cone, vai de a . O ângulo completa uma volta completa, de a .
Passo 5
O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos integrar passo a passo.
Passo 6
Integrando em relação a :
Então, o volume fica:
Passo 7
Vamos simplificar a integral em :
Sabemos que , então:
Podemos fazer a substituição , então . A integral vira: