Determine o volume do sólido e acima da região limitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o volume do sólido definido pela superfície e que está acima da região no plano xy delimitada pelas curvas e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. As duas equações que delimitam essa região são:
(uma reta)
(uma parábola)
Vamos achar onde essas duas curvas se intersectam para definir os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, as interseções acontecem quando e .
Passo 4
Agora, vamos expressar em termos de para ambas as curvas:
Da reta:
Da parábola:
Para cada valor de entre 0 e 1, varia de a .
Passo 5
Vamos agora determinar a expressão para a partir da equação da superfície:
O volume que queremos é a integral dupla de sobre a região definida.
Passo 6
Configurando a integral dupla para o volume:
Primeiro, integramos em relação a , depois em relação a .
Passo 7
Vamos calcular a integral interna:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Substituindo os limites de y:
Simplificando a expressão para facilitar a integração em x.
Passo 9
Após simplificar, integramos em relação a x de 0 a 1 para encontrar o volume total.