Determine o volume do sólido x - 2y + z = 1 e acima da região limitada por x + y = 1 e x^2 + y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o volume do sólido definido pela superfície e que está acima da região no plano xy delimitada pelas curvas e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. As duas equações que delimitam essa região são:
  1. (uma reta)
  2. (uma parábola)
Vamos achar onde essas duas curvas se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, as interseções acontecem quando x = 0 e x = 1.

Passo 4

Agora, vamos expressar y em termos de x para ambas as curvas:
  • Da reta:
  • Da parábola:
Para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de a .

Passo 5

Vamos agora determinar a expressão para z a partir da equação da superfície:
O volume que queremos é a integral dupla de z sobre a região definida.

Passo 6

Configurando a integral dupla para o volume:
Primeiro, integramos em relação a y, depois em relação a x.

Passo 7

Vamos calcular a integral interna:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Substituindo os limites de y:
Simplificando a expressão para facilitar a integração em x.

Passo 9

Após simplificar, integramos em relação a x de 0 a 1 para encontrar o volume total.

Resposta

O volume do sólido é 1/6 unidades cúbicas.

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