Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Além disso, precisamos descobrir qual é a direção de máxima variação de nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente de e usar a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais que encontramos:
Sabemos que , então:
Fazendo o mesmo para e :
á
Passo 5
Agora, podemos expressar o gradiente no ponto :
Passo 6
Para encontrar a derivada direcional na direção do vetor , primeiro precisamos transformar em um vetor unitário. A fórmula para isso é:
Calculando a norma de :
Então,
Passo 7
A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, para encontrar a direção de máxima variação de no ponto , lembramos que ela é dada pela direção do gradiente naquele ponto. Então, basta transformar em um vetor unitário.
Calculando a norma do gradiente:
Esse cálculo pode ser feito numericamente se necessário.
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é . A direção de máxima variação de no ponto é na direção do gradiente .