Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Além disso, precisamos descobrir qual é a direção de máxima variação de nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente de e usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais que encontramos:
Sabemos que , então:
Fazendo o mesmo para e :
á

Passo 5

Agora, podemos expressar o gradiente no ponto :

Passo 6

Para encontrar a derivada direcional na direção do vetor , primeiro precisamos transformar em um vetor unitário. A fórmula para isso é:
Calculando a norma de :
Então,

Passo 7

A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, para encontrar a direção de máxima variação de no ponto , lembramos que ela é dada pela direção do gradiente naquele ponto. Então, basta transformar em um vetor unitário.
Calculando a norma do gradiente:
Esse cálculo pode ser feito numericamente se necessário.

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é . A direção de máxima variação de no ponto é na direção do gradiente .

Exercícios relacionados

Encontre a derivada de:
Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?
Determine o volume do sólido e acima da região limitada por e .
Obtenha o valor do limite das seguintes funções