Estime o valor da integral , onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para estimar o valor da integral dupla , onde é o disco de raio 2 centrado na origem. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares, que facilita trabalhar com regiões circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para polares porque a região é um disco. Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área vira . Além disso, como o raio do disco é 2, varia de 0 a 2 e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. Temos . A integral fica então:

Passo 4

Para facilitar, vamos considerar uma aproximação. Sabemos que quando é pequeno. Como e estão entre -1 e 1, o produto também est�� entre -1 e 1, então podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo a aproximação na integral, temos:
Essa integral se divide em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver a primeira parte:

Passo 7

Agora, a segunda parte. Observe que a função é uma função ímpar em , o que faz com que sua integral sobre um intervalo completo de a seja zero. Portanto:

Passo 8

Juntando as duas partes, temos:

Resposta

O valor estimado da integral é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Obtenha o valor do limite das seguintes funções
Determine o volume do sólido e acima da região limitada por e .
O raio de um cone circular aumenta a uma taxa de enquanto que a altura decresce a uma taxa de . Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 1 m e sua altura 2 m ?