Estime o valor da integral integral duplaD e^senxseny d A, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para estimar o valor da integral dupla integral duplaD e^senx , seny , dA, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares, que facilita trabalhar com regiões circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para polares porque a região D é um disco. Nas coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta, e o elemento de área dA vira r , dr , dtheta. Além disso, como o raio do disco é 2, r varia de 0 a 2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. Temos sin x sin y = sin(r costheta) sin(r sintheta). A integral fica então:
integral duplaD e^senx , seny , dA = integral0^2pi integral0^2 e^sin(r costheta) sin(r sintheta) , r , dr , dtheta

Passo 4

Para facilitar, vamos considerar uma aproximação. Sabemos que e^z approx 1 + z quando z é pequeno. Como sin(r costheta) e sin(r sintheta) estão entre -1 e 1, o produto também est�� entre -1 e 1, então podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo a aproximação na integral, temos:
integral duplaD e^senx , seny , dA approx integral0^2pi integral0^2 (1 + sin(r costheta) sin(r sintheta)) r , dr , dtheta
Essa integral se divide em duas partes:
  1. integral0^2pi integral0^2 r , dr , dtheta
  2. integral0^2pi integral0^2 sin(r costheta) sin(r sintheta) r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a primeira parte:
integral0^2pi integral0^2 r , dr , dtheta = integral0^2pi [ r^22 ]0^2 dtheta = integral0^2pi 2 , dtheta = 4pi

Passo 7

Agora, a segunda parte. Observe que a função sin(r costheta) sin(r sintheta) é uma função ímpar em theta, o que faz com que sua integral sobre um intervalo completo de 0 a 2pi seja zero. Portanto:
integral0^2pi integral0^2 sin(r costheta) sin(r sintheta) r , dr , dtheta = 0

Passo 8

Juntando as duas partes, temos:
integral duplaD e^senx , seny , dA approx 4pi + 0 = 4pi

Resposta

O valor estimado da integral integral duplaD e^senx , seny , dA é aproximadamente 4pi.

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