Estime o valor da integral
, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para estimar o valor da integral dupla
, onde
é o disco de raio 2 centrado na origem. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares, que facilita trabalhar com regiões circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas para polares porque a região
é um disco. Nas coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. Além disso, como o raio do disco é 2,
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas polares. Temos
. A integral fica então:
Passo 4
Para facilitar, vamos considerar uma aproximação. Sabemos que
quando
é pequeno. Como
e
estão entre -1 e 1, o produto também est�� entre -1 e 1, então podemos aproximar:
Passo 5
Substituindo a aproximação na integral, temos:
Essa integral se divide em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver a primeira parte:
Passo 7
Agora, a segunda parte. Observe que a função
é uma função ímpar em
, o que faz com que sua integral sobre um intervalo completo de
a
seja zero. Portanto:
Passo 8
Juntando as duas partes, temos:
Resposta
O valor estimado da integral
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Obtenha o valor do limite das seguintes funções
Determine o volume do sólido
e acima da região limitada por
e
.
O raio de um cone circular aumenta a uma taxa de
enquanto que a altura decresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 1 m e sua altura 2 m ?