Determine o volume do sólido dado
Limitado acima pela esfera z = 3 - x^2 - y^2 e abaixo pelo parabolóide z = 2*x^2 + 2*y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado de cima por uma esfera dada pela equação e de baixo por um parabolóide dado por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, porque as equações são simétricas em relação ao centro.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a região de interseção dessas duas superfícies. Isso acontece quando as duas equações de são iguais:
Simplificando:
Então, a área de integração é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Como é um círculo, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área .

Passo 4

Vamos expressar as funções em coordenadas polares:
ó
A altura do sólido em cada ponto é a diferença entre essas duas funções:
ó

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Aqui, vai de 0 a 1 (raio do círculo) e vai de 0 a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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