Determine o volume do sólido dado
Limitado acima pela esfera
e abaixo pelo parabolóide
Limitado acima pela esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado de cima por uma esfera dada pela equação
e de baixo por um parabolóide dado por
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, porque as equações são simétricas em relação ao centro.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a região de interseção dessas duas superfícies. Isso acontece quando as duas equações de
são iguais:
Simplificando:
Então, a área de integração é um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Como é um círculo, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que
e
, e o elemento de área
.
Passo 4
Vamos expressar as funções
em coordenadas polares:
A altura do sólido em cada ponto é a diferença entre essas duas funções:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Aqui,
vai de 0 a 1 (raio do círculo) e
vai de 0 a
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.