Encontrar o envelope das famílias de curvas
(x - C)^3 + (y - C)^2 = C^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o envelope da família de curvas definida por . Aqui, estamos trabalhando com famílias de curvas, que são conjuntos de curvas parametrizadas por uma constante, no caso, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a determinação de envelopes. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa família de curvas. Temos a equação:
Aqui, é o parâmetro que define cada curva específica dentro da família. Para encontrar o envelope dessas curvas, precisamos usar uma técnica que envolve derivar a equação em relação a e resolver junto com a equação original.

Passo 3

Vamos chamar a equação original de :
Para encontrar o envelope, precisamos encontrar uma segunda equação derivando em relação a e igualando a zero:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Resolvendo cada termo:
Então, juntando tudo:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver simultaneamente:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para encontrar a equação do envelope em termos de e .

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Definimos:
Agora, reescrevemos as equações:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 7

Substituímos na primeira equação:
Calculando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Resolvendo para :

Passo 8

Lembrando que e , podemos substituir de volta:
Para eliminar , vamos reorganizar essa expressão e substituí-la na equação original ou em uma das equações intermediárias. Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas ao resolver, chegamos à equação do envelope.

Passo 9

Após realizar as substituições e simplificações necessárias, a equação do envelope resulta em:
Simplificando:

Resposta

O envelope das famílias de curvas é dado por:

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