Encontrar o envelope das famílias de curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o envelope da família de curvas definida por
. Aqui, estamos trabalhando com famílias de curvas, que são conjuntos de curvas parametrizadas por uma constante, no caso,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a determinação de envelopes. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossa família de curvas. Temos a equação:
Aqui,
é o parâmetro que define cada curva específica dentro da família. Para encontrar o envelope dessas curvas, precisamos usar uma técnica que envolve derivar a equação em relação a
e resolver junto com a equação original.
Passo 3
Vamos chamar a equação original de
:
Para encontrar o envelope, precisamos encontrar uma segunda equação derivando
em relação a
e igualando a zero:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Resolvendo cada termo:
Então, juntando tudo:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver simultaneamente:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para encontrar a equação do envelope em termos de
e
.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Definimos:
Agora, reescrevemos as equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 7
Substituímos
na primeira equação:
Calculando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Resolvendo para
:
Passo 8
Lembrando que
e
, podemos substituir de volta:
Para eliminar
, vamos reorganizar essa expressão e substituí-la na equação original ou em uma das equações intermediárias. Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas ao resolver, chegamos à equação do envelope.
Passo 9
Após realizar as substituições e simplificações necessárias, a equação do envelope resulta em:
Simplificando:
Resposta
O envelope das famílias de curvas
é dado por: