Integrar as equações diferenciais exatas.
(1/x^2 + 3y^2/x^4) dx = 2y/x^3 dy

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você trouxe. Uma equação diferencial exata é do tipo , onde existe uma função tal que e . Para resolver, vamos encontrar essa função .
No seu caso, temos:
Vamos reescrever isso no formato padrão:
onde:

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se a equação é realmente exata. Para isso, a condição é que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a .
Vamos calcular e :
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função tal que:
Para isso, vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, temos:
Aqui, é uma função que depende só de , já que a integração foi em relação a .

Passo 4

Agora precisamos determinar . Para isso, usamos a segunda condição:
Vamos derivar em relação a :
Igualando à expressão de :
Isso implica que:
Integrando, encontramos que:
Podemos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados