Integrar as equações diferenciais exatas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você trouxe. Uma equação diferencial exata é do tipo
, onde existe uma função
tal que
e
. Para resolver, vamos encontrar essa função
.
No seu caso, temos:
Vamos reescrever isso no formato padrão:
onde:
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se a equação é realmente exata. Para isso, a condição é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
.
Vamos calcular
e
:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
tal que:
Para isso, vamos integrar
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Então, temos:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 4
Agora precisamos determinar
. Para isso, usamos a segunda condição:
Vamos derivar
em relação a
:
Igualando à expressão de
:
Isso implica que:
Integrando, encontramos que:
Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.