Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico 16=x²+2y²+z os planos x= 2 e y=2 e os planos coordenados x,y e z
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está delimitado por um parabolóide elíptico dado por , os planos e , além dos planos coordenados , e . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do parabolóide elíptico: . Podemos reescrever isso isolando :
Isso nos dá a superfície superior do sólido.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Os planos e nos dizem que vai de 0 a 2 e vai de 0 a 2. Além disso, varia do plano (o plano coordenado) até a superfície do parabolóide, que é .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume :
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a primeiro. Integrando de 0 a :