Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico 16=x²+2y²+z os planos x= 2 e y=2 e os planos coordenados x,y e z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está delimitado por um parabolóide elíptico dado por 16 = x^2 + 2y^2 + z, os planos x = 2 e y = 2, além dos planos coordenados x, y e z. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do parabolóide elíptico: 16 = x^2 + 2y^2 + z. Podemos reescrever isso isolando z:
z = 16 - x^2 - 2y^2
Isso nos dá a superfície superior do sólido.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Os planos x = 2 e y = 2 nos dizem que x vai de 0 a 2 e y vai de 0 a 2. Além disso, z varia do plano z = 0 (o plano coordenado) até a superfície do parabolóide, que é z = 16 - x^2 - 2y^2.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume V:
V = integral0^2 integral0^2 integral0^16 - x^2 - 2y^2 dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro. Integrando dz de 0 a 16 - x^2 - 2y^2:
integral0^16 - x^2 - 2y^2 dz = [ z ]0^16 - x^2 - 2y^2 = 16 - x^2 - 2y^2
Agora, a integral fica:
V = integral0^2 integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a y:
integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy = [16y - x^2 y - 23y^3 ]0^2
Calculando isso:
16(2) - x^2(2) - 23(2)^3 = 32 - 2x^2 - 163 = (32 - 163) - 2x^2 = 963 - 163 - 2x^2 = 803 - 2x^2
Então, a integral agora é:
V = integral0^2 ( 803 - 2x^2 ) dx

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a x:
integral0^2 ( 803 - 2x^2 ) dx = 803x - 23x^3 g|0^2
Calculando isso:
803(2) - 23(2)^3 = 1603 - 163 = 1443 = 48

Resposta

O volume do sólido é 48 unidades cúbicas.

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