A partir de um grupo de 9 pessoas, formado por 6 homens e 3 mulheres, pretende-se formar filas com 5 dessas pessoas de modo que as 3 mulheres ocupem sempre as 3 primeiras posições. Assim, de todas as filas possiveis, quantas obedecem a essa restrição?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um grupo de 9 pessoas, sendo 6 homens e 3 mulheres. Queremos formar filas com 5 pessoas onde as 3 primeiras posições sempre são ocupadas pelas 3 mulheres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação, que é a contagem de maneiras diferentes de organizar itens quando a ordem importa.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir como organizar as 3 mulheres nas 3 primeiras posições da fila. Como a ordem importa, estamos falando de permutação de 3 mulheres em 3 lugares.
A fórmula para permutação de $ n $ itens em $ r $ posições é:
n
Aqui, $ n = 3 $ (as mulheres) e $ r = 3 $, então:
r
Portanto, há 6 maneiras de organizar as 3 mulheres nas 3 primeiras posições.

Passo 3

Agora, precisamos preencher as últimas 2 posições da fila com pessoas do restante do grupo. Como já usamos as 3 mulheres, restam 6 homens para preencher essas 2 posições.
Novamente, usamos permutação porque a ordem importa:
P(6, 2) = 6!(6 - 2)! = 72024 = 30
Então, há 30 maneiras de organizar os 2 homens nas últimas posições.

Passo 4

Para encontrar o total de filas que obedecem a essa restrição, multiplicamos o número de maneiras de organizar as mulheres pelas maneiras de organizar os homens:
6 times 30 = 180

Resposta

Existem 180 filas que obedecem à restrição de ter as 3 mulheres nas 3 primeiras posições.

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