A representação de um número real em um computador é realizada pela aritmética do ponto flutuante. Dados os números: I – (49,785)10 II – (10110011)2 III – (11001)2
Indique como seriam as representações desses números no computador respectivamente?
Indique como seriam as representações desses números no computador respectivamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar como três números diferentes são representados no computador usando a aritmética do ponto flutuante. A aritmética do ponto flutuante é o método que os computadores usam para representar números reais (como 49,785 ou 10110011) de forma que consigam lidar com uma grande variedade de valores, tanto muito grandes quanto muito pequenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação em ponto flutuante, que geralmente envolve separar o número em sinal, expoente e mantissa.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro número: (49,785)_10. Esse é um número decimal que precisamos converter para a representação em ponto flutuante.
Primeiro, a gente transforma esse número em binário. Para a parte inteira (49), vamos dividir sucessivamente por 2:
49 ÷ 2 = 24 resto 1
24 ÷ 2 = 12 resto 0
12 ÷ 2 = 6 resto 0
6 ÷ 2 = 3 resto 0
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1
24 ÷ 2 = 12 resto 0
12 ÷ 2 = 6 resto 0
6 ÷ 2 = 3 resto 0
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1
Lendo os restos de baixo para cima, a parte inteira em binário é 110001.
Agora, para a parte decimal (0,785), multiplicamos por 2 repetidamente e anotamos a parte inteira:
0,785 × 2 = 1,57 → 1
0,57 × 2 = 1,14 → 1
0,14 × 2 = 0,28 → 0
0,28 × 2 = 0,56 → 0
0,56 × 2 = 1,12 → 1
0,12 × 2 = 0,24 → 0
…
0,57 × 2 = 1,14 → 1
0,14 × 2 = 0,28 → 0
0,28 × 2 = 0,56 → 0
0,56 × 2 = 1,12 → 1
0,12 × 2 = 0,24 → 0
…
Assim, a parte decimal em binário começa como 0,11001…
Juntando tudo, temos que 49,785 em binário é aproximadamente 110001,11001.
Passo 3
Agora, vamos organizar essa representação no formato de ponto flutuante. Geralmente, usamos a forma normalizada que é:
Para o nosso número 110001,11001, movemos a vírgula para depois do primeiro 1:
Aqui, Sinal é 0 (positivo), Mantissa é 1000111001 (e continuamos com zeros para completar os bits da mantissa), e Expoente é 5 ajustado pelo viés (em IEEE 754 de precisão simples, o viés é 127, então 5 + 127 = 132, que em binário é 10000100).
Então, a representação em ponto flutuante fica assim:
- Sinal: 0
- Expoente: 10000100
- Mantissa: 10001110010000000000000
Portanto, 49,785 em ponto flutuante é:
Passo 4
Vamos para o segundo número: (10110011)_2. Esse é um número binário que vamos converter para ponto flutuante.
Primeiro, convertendo para decimal para entender melhor:
Agora, representamos 179 em ponto flutuante. Convertendo para binário já sabemos que é 10110011.
Normalizando:
Com Sinal 0, Mantissa 01100110000000000000000, e Expoente 7 + 127 = 134 = 10000110.
Então, a representação fica:
Passo 5
Por último, temos o terceiro número: (11001)_2. Vamos converter para ponto flutuante.
Convertendo para decimal:
Agora, em binário é 11001. Normalizando:
Com Sinal 0, Mantissa 10010000000000000000000, e Expoente 4 + 127 = 131 = 10000011.
A representação em ponto flutuante fica:
Resposta
As representações dos números no computador usando a aritmética do ponto flutuante são:
I – (49,785)₁₀:
II – (10110011)₂:
III – (11001)₂: