Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies
;
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é definido por três superfícies: a cilindrada
, o plano
que é o chão, e o plano inclinado
. Vamos usar cálculo, especificamente integrais múltiplas, para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação
representa um cilindro circular de raio 4, centrado no eixo z. O plano
é bem simples, é o nosso “chão”. Já o plano
é inclinado e vai determinar o teto do sólido.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a base do sólido é um círculo. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. A área da base fica mais fácil de calcular assim.
Passo 4
O próximo passo é determinar os limites de integração. Como o raio do cilindro é 4,
vai de 0 a 4. O ângulo
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo. Para
, ele varia do plano
até o plano inclinado
.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Aqui,
vem do jacobiano na mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integralando em
:
Calculando cada parte:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Separando as integrais:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
d)
Determine quais das sequências abaixo são crescentes e quais são decrescentes; quais são limitadas?
(a)
(a)
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;
f)