Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies ; e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é definido por três superfícies: a cilindrada , o plano que é o chão, e o plano inclinado . Vamos usar cálculo, especificamente integrais múltiplas, para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação representa um cilindro circular de raio 4, centrado no eixo z. O plano é bem simples, é o nosso “chão”. Já o plano é inclinado e vai determinar o teto do sólido.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a base do sólido é um círculo. Nas coordenadas cilíndricas, , e . A área da base fica mais fácil de calcular assim.

Passo 4

O próximo passo é determinar os limites de integração. Como o raio do cilindro é 4, vai de 0 a 4. O ângulo vai de 0 a para cobrir todo o círculo. Para , ele varia do plano até o plano inclinado .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, vem do jacobiano na mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Então, a integral fica:

Passo 7

Integralando em :
Calculando cada parte:

Passo 8

Agora, integramos em :
Separando as integrais:
Sabemos que:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
Determine quais das sequências abaixo são crescentes e quais são decrescentes; quais são limitadas?
(a)
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;