(a) Toda sequência limitada é convergente.
Passo 1
Vamos entender o enunciado: “Toda sequência limitada é convergente.” Aqui, estamos lidando com sequências da Matemática, especificamente examinando as sequências limitadas e se elas sempre são convergentes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de sequência limitada e sequência convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que para todo
,
. Isso significa que os termos da sequência não ficam “infinito” para mais ou menos, estão dentro de um intervalo fixo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
aumenta, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para todo
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 4
A afirmação do exercício sugere que toda sequência limitada tem essa propriedade de convergir para algum limite
. Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro.
Passo 5
Sabemos, através do Teorema de Bolzano-Weierstrass, que toda sequência limitada em
possui pelo menos uma subsequência convergente. No entanto, isso não garante que a sequência inteira converja, apenas que existe pelo menos uma subsequência que converge.
Passo 6
Para ver se a afirmação do exercício é verdadeira ou falsa, vamos procurar um exemplo de uma sequência que seja limitada, mas que não converja. Considere a sequência
.
Passo 7
Analisando
, vemos que os termos alternam entre 1 e -1:
. Essa sequência é claramente limitada, pois todos os seus termos satisfazem
.
Passo 8
No entanto, essa sequência não converge, pois não se aproxima de nenhum número específico conforme
aumenta. Os termos continuam alternando indefinidamente entre 1 e -1, sem se estabilizar.
Resposta
A afirmação “Toda sequência limitada é convergente” é falsa. Um exemplo de sequência limitada que não é convergente é
.
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;
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