(a) Toda sequência limitada é convergente.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: “Toda sequência limitada é convergente.” Aqui, estamos lidando com sequências da Matemática, especificamente examinando as sequências limitadas e se elas sempre são convergentes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de sequência limitada e sequência convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo , . Isso significa que os termos da sequência não ficam “infinito” para mais ou menos, estão dentro de um intervalo fixo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge para um limite se, à medida que aumenta, os termos ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para todo , existe um número tal que para todo , .

Passo 4

A afirmação do exercício sugere que toda sequência limitada tem essa propriedade de convergir para algum limite . Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro.

Passo 5

Sabemos, através do Teorema de Bolzano-Weierstrass, que toda sequência limitada em possui pelo menos uma subsequência convergente. No entanto, isso não garante que a sequência inteira converja, apenas que existe pelo menos uma subsequência que converge.

Passo 6

Para ver se a afirmação do exercício é verdadeira ou falsa, vamos procurar um exemplo de uma sequência que seja limitada, mas que não converja. Considere a sequência .

Passo 7

Analisando , vemos que os termos alternam entre 1 e -1: . Essa sequência é claramente limitada, pois todos os seus termos satisfazem .

Passo 8

No entanto, essa sequência não converge, pois não se aproxima de nenhum número específico conforme aumenta. Os termos continuam alternando indefinidamente entre 1 e -1, sem se estabilizar.

Resposta

A afirmação “Toda sequência limitada é convergente” é falsa. Um exemplo de sequência limitada que não é convergente é .

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