Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por . Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para resolver, vamos precisar entender se a equação é exata ou se precisa de algum fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Podemos identificar as funções e . Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de . Então, temos:
Queremos que a nova equação seja exata, ou seja:
Isso nos leva à condição:
Substituindo e :
Para simplificar, buscamos que a equação dependa apenas de , o que nos leva a encontrar que .

Passo 5

Multiplicando toda a equação original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Resolvendo para :
Observamos que para a equação ser consistente, deve depender apenas de . Isso implica que:
Portanto, , integrando:

Passo 7

Substituindo na função :
A solução geral da equação é dada por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
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