Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f)
;
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por
. Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para resolver, vamos precisar entender se a equação é exata ou se precisa de algum fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Podemos identificar as funções
e
. Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos assumir que o fator integrante
depende apenas de
. Então, temos:
Queremos que a nova equação seja exata, ou seja:
Isso nos leva à condição:
Substituindo
e
:
Para simplificar, buscamos que a equação dependa apenas de
, o que nos leva a encontrar que
.
Passo 5
Multiplicando toda a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Resolvendo para
:
Observamos que para a equação ser consistente,
deve depender apenas de
. Isso implica que:
Portanto,
, integrando:
Passo 7
Substituindo
na função
:
A solução geral da equação é dada por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies
;
e
6
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde
é a esfera de raio