Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante. Vou explicar cada passo para que fique bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais:
onde
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante, vamos verificar se ele depende apenas de
ou de
. Vamos tentar encontrar um fator integrante que seja função de
, ou seja,
.
A fórmula para o fator integrante, quando a equação não é exata, é:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante
:
simplificando:
Agora, nossa nova equação é exata, pois as derivadas parciais são iguais.
Passo 5
Como a equação agora é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
onde
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
que já sabemos ser
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da EDO dada é:
onde
Exercícios relacionados
Determine quais das sequências abaixo são crescentes e quais são decrescentes; quais são limitadas?
(a)
(a)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
e)
Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies
;
e
(a) Toda sequência limitada é convergente.