Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:

Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante. Vou explicar cada passo para que fique bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais:

onde e .
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, vamos verificar se ele depende apenas de ou de . Vamos tentar encontrar um fator integrante que seja função de , ou seja, .
A fórmula para o fator integrante, quando a equação não é exata, é:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante :

simplificando:
Agora, nossa nova equação é exata, pois as derivadas parciais são iguais.

Passo 5

Como a equação agora é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :

onde é uma função arbitrária de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a que já sabemos ser :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da EDO dada é:

onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine quais das sequências abaixo são crescentes e quais são decrescentes; quais são limitadas?
(a)
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies ; e
(a) Toda sequência limitada é convergente.