Determine o volume do sólido dentro do cilindro e do elipsóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o volume do sólido que está dentro do cilindro e também dentro do elipsóide . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes envolvendo coordenadas cilíndricas e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  1. Cilindro: – isso significa que o cilindro tem raio 2 e se estende infinitamente ao longo do eixo z.
  2. Elipsóide: – essa equação representa um hiperboloide de uma folha, que tem uma forma similar a uma sela de cavalo.
Para encontrar o volume comum aos dois sólidos, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, onde , e .

Passo 3

Vamos reescrever a equação do elipsóide em coordenadas cilíndricas:
Para que seja um número real, o valor de precisa ser maior ou igual a zero:
No entanto, o cilindro tem raio 2 ( ), que é menor que 4. Isso significa que, dentro do cilindro, não há interseção com o elipsóide, já que a condição para existir não é satisfeita. Portanto, o volume de interseção entre o cilindro e o elipsóide é zero.

Passo 4

Mas vamos supor que houve um erro de sinal na equação do elipsóide e que a equação correta seja , que representa uma elipsóide real fechada. Nesse caso, seguiríamos com o cálculo.
Vamos reescrever a equação do elipsóide:
Dentro do cilindro ( ), vamos determinar os limites para :

Passo 5

Agora, para encontrar o volume, usamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em . Para isso, fazemos uma substituição:
Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 8

Calculando a integral em :
Aplicando os limites:
Então, o volume fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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