Determine o volume do sólido dentro do cilindro
e do elipsóide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o volume do sólido que está dentro do cilindro
e também dentro do elipsóide
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes envolvendo coordenadas cilíndricas e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
- Cilindro:
– isso significa que o cilindro tem raio 2 e se estende infinitamente ao longo do eixo z. - Elipsóide:
– essa equação representa um hiperboloide de uma folha, que tem uma forma similar a uma sela de cavalo.
Para encontrar o volume comum aos dois sólidos, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação do elipsóide em coordenadas cilíndricas:
Para que
seja um número real, o valor de
precisa ser maior ou igual a zero:
No entanto, o cilindro tem raio 2 (
), que é menor que 4. Isso significa que, dentro do cilindro, não há interseção com o elipsóide, já que a condição para
existir não é satisfeita. Portanto, o volume de interseção entre o cilindro e o elipsóide é zero.
Passo 4
Mas vamos supor que houve um erro de sinal na equação do elipsóide e que a equação correta seja
, que representa uma elipsóide real fechada. Nesse caso, seguiríamos com o cálculo.
Vamos reescrever a equação do elipsóide:
Dentro do cilindro (
), vamos determinar os limites para
:
Passo 5
Agora, para encontrar o volume, usamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
. Para isso, fazemos uma substituição:
Quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Calculando a integral em
:
Aplicando os limites:
Então, o volume fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Questão
- Resolva a equação diferencial
para encontrar a equação geral. Aplique a equação geral e encontre a solução que satisfaça a condição inicial
. Considere
(pois
é uma constante qualquer e o mesmo ocorre com K)
Questão
- Resolva a equação diferencial
, que satisfaça a condição
e determine o valor da constante
.
Resolva a
onde
é limitado pelos planos
e pelo cilindro
no primeiro octante.
Calcule a integral indefinida.