Resolva a onde é limitado pelos planos e pelo cilindro no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral , onde a região é delimitada pelos planos , , e pelo cilindro , tudo isso no primeiro octante (onde , , são positivos). Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro octante, temos , e . Os limites são:
Plano : Isso é o eixo .
Plano : Isso é o plano .
Plano : Uma superfície inclinada que corta os eixos e em .
Cilindro : Um cilindro circular de raio alinhado com o eixo .
Queremos encontrar onde esses limites se intersectam para definir a região de integração.
Passo 3
Vamos escolher coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos um cilindro na descrição. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume ��
Isso simplifica a equação do cilindro para , o que facilita a definição dos limites.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
Para : O cilindro é , então .
Para : Estamos no primeiro octante, então .
Para : O plano é a base, e o topo é dado pelo plano .
Vamos expressar o plano em coordenadas cilíndricas:
Então, .
Passo 5
Agora, podemos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 8
Para resolver essa última integral, usamos uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então:
Portanto:
Passo 9
A integral de é . Vamos fazer uma substituição , então e os limites mudam para a .