Resolva a
onde
é limitado pelos planos
e pelo cilindro
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral
, onde a região
é delimitada pelos planos
,
,
e pelo cilindro
, tudo isso no primeiro octante (onde
,
,
são positivos). Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No primeiro octante, temos
,
e
. Os limites são:
- Plano
: Isso é o eixo . - Plano
: Isso é o plano . - Plano
: Uma superfície inclinada que corta os eixos e em . - Cilindro
: Um cilindro circular de raio alinhado com o eixo .
Queremos encontrar onde esses limites se intersectam para definir a região de integração.
Passo 3
Vamos escolher coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos um cilindro na descrição. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume ��
Isso simplifica a equação do cilindro para
, o que facilita a definição dos limites.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- Para
: O cilindro é , então . - Para
: Estamos no primeiro octante, então . - Para
: O plano é a base, e o topo é dado pelo plano .
Vamos expressar o plano
em coordenadas cilíndricas:
Então,
.
Passo 5
Agora, podemos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Para resolver essa última integral, usamos uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então:
Portanto:
Passo 9
A integral de
é
. Vamos fazer uma substituição
, então
e os limites mudam para
a
.
Sabemos que:
Então:
Resposta
A integral tripla
é igual a 1.