Resolva a
integral triplaE z d V onde E é limitado pelos planos y=0, z=0, x+y=2 e pelo cilindro x^2+y^2=1 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral integral triplaE z , dV, onde a região E é delimitada pelos planos y=0, z=0, x+y=2 e pelo cilindro x^2+y^2=1, tudo isso no primeiro octante (onde x, y, z são positivos). Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. No primeiro octante, temos x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Os limites são:
  • Plano y=0: Isso é o eixo x.
  • Plano z=0: Isso é o plano xy.
  • Plano x + y = 2: Uma superfície inclinada que corta os eixos x e y em 2.
  • Cilindro x^2 + y^2 = 1: Um cilindro circular de raio 1 alinhado com o eixo z.
Queremos encontrar onde esses limites se intersectam para definir a região de integração.

Passo 3

Vamos escolher coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos um cilindro na descrição. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
  • O elemento de volume �� dV = r , dr , dtheta , dz
Isso simplifica a equação do cilindro para r = 1, o que facilita a definição dos limites.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para r, theta e z.
  • Para r: O cilindro é r=1, então 0 <= r <= 1.
  • Para theta: Estamos no primeiro octante, então 0 <= theta <= pi2.
  • Para z: O plano z=0 é a base, e o topo é dado pelo plano x + y = 2.
Vamos expressar o plano x + y = 2 em coordenadas cilíndricas:
r cos theta + r sin theta = 2 r (cos theta + sin theta) = 2 z <= 2cos theta + sin theta
Então, 0 <= z <= 2cos theta + sin theta.

Passo 5

Agora, podemos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE z , dV = integral0^pi2 integral0^1 integral0^2cos theta + sin theta z cdot r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^2cos theta + sin theta z , dz = [ z^22 ]0^2cos theta + sin theta = 12 ( 4(cos theta + sin theta)^2 ) = 2(cos theta + sin theta)^2
Substituindo de volta na integral:
integral triplaE z , dV = integral0^pi2 integral0^1 2r(cos theta + sin theta)^2 , dr , dtheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 2r , dr = 2 [ r^22 ]0^1 = 2 ( 12 ) = 1
Então, a integral fica:
integral triplaE z , dV = integral0^pi2 1(cos theta + sin theta)^2 , dtheta

Passo 8

Para resolver essa última integral, usamos uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
cos theta + sin theta = raiz2 sin ( theta + pi4 )
Então:
(cos theta + sin theta)^2 = 2 sin^2 ( theta + pi4 )
Portanto:
integral triplaE z , dV = integral0^pi2 12 sin^2 ( theta + pi4 ) , dtheta = 12 integral0^pi2 csc^2 ( theta + pi4 ) , dtheta

Passo 9

A integral de csc^2 u , du é - cot u + C. Vamos fazer uma substituição u = theta + pi4, então du = dtheta e os limites mudam para u = pi4 a u = 3pi4.
12 [ -cot u ]pi4^3pi4 = 12 ( -cot 3pi4 + cot pi4 )
Sabemos que:
  • cot pi4 = 1
  • cot 3pi4 = -1
Então:
12 ( -(-1) + 1 ) = 12 (1 + 1) = 12 times 2 = 1

Resposta

A integral tripla integral triplaE z , dV é igual a 1.

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