Resolva a
onde é limitado pelos planos e pelo cilindro no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral , onde a região é delimitada pelos planos , , e pelo cilindro , tudo isso no primeiro octante (onde , , são positivos). Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro octante, temos , e . Os limites são:
  • Plano : Isso é o eixo .
  • Plano : Isso é o plano .
  • Plano : Uma superfície inclinada que corta os eixos e em .
  • Cilindro : Um cilindro circular de raio alinhado com o eixo .
Queremos encontrar onde esses limites se intersectam para definir a região de integração.

Passo 3

Vamos escolher coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos um cilindro na descrição. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume ��
Isso simplifica a equação do cilindro para , o que facilita a definição dos limites.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para : O cilindro é , então .
  • Para : Estamos no primeiro octante, então .
  • Para : O plano é a base, e o topo é dado pelo plano .
Vamos expressar o plano em coordenadas cilíndricas:
Então, .

Passo 5

Agora, podemos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Para resolver essa última integral, usamos uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então:
Portanto:

Passo 9

A integral de é . Vamos fazer uma substituição , então e os limites mudam para a .
Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral tripla é igual a 1.

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