Questão 5(1,0 pt) - Resolva a equação diferencial d y/d x = x^2/y^2 para encontrar a equação geral. Aplique a equação geral e encontre a solução que satisfaça a condição inicial y(0) = 2. Considere K = 3 C (pois C é uma constante qualquer e o mesmo ocorre com K)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Temos:
Isso significa que podemos rearranjar para:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a equação geral. A integral de é:
E a integral de é:

Passo 4

Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Multiplicando tudo por 3 para facilitar:
onde .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é:
Ou, de forma explícita para :

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