Determine o volume do sólido que está dentro da esfera e fora do cilindro . Esboce o sólido.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o volume do sólido que está dentro da esfera e fora do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e integração em coordenadas cilíndricas, que são úteis para lidar com formas circulares e esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas figuras geométricas envolvidas:
Esfera: A equação representa uma esfera com raio (já que ) centrada na origem.
Cilindro: A equação representa um cilindro circular vertical com raio (pois ) também centrado na origem.
Queremos o volume dentro da esfera, mas que fica fora deste cilindro. Para calcular isso, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde , e , pois simplificam as equações envolvidas.
Passo 3
Na coordenadas cilíndricas, a equação da esfera fica:
E o cilindro permanece:
Como estamos interessados na região fora do cilindro () e dentro da esfera, precisamos encontrar os limites para em termos de :
Isso nos indica que, para cada valor de entre e (raio da esfera), varia de até .
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui:
varia de a para cobrir toda a volta circular.
varia de a para abranger a zona fora do cilindro e dentro da esfera.
varia conforme definido anteriormente para cada .
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a , fazemos uma substituição para simplificar:
Deixe , então . Portanto, .
A integral em torna-se:
Calculando essa integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
Resposta
O volume do sólido dentro da esfera e fora do cilindro é unidades cúbicas.