Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e fora do cilindro x^2 + y^2 = 4. Esboce o sólido.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o volume do sólido que está dentro da esfera e fora do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e integração em coordenadas cilíndricas, que são úteis para lidar com formas circulares e esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas figuras geométricas envolvidas:
  1. Esfera: A equação representa uma esfera com raio (já que ) centrada na origem.
  2. Cilindro: A equação representa um cilindro circular vertical com raio (pois ) também centrado na origem.
Queremos o volume dentro da esfera, mas que fica fora deste cilindro. Para calcular isso, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, onde , e , pois simplificam as equações envolvidas.

Passo 3

Na coordenadas cilíndricas, a equação da esfera fica:
E o cilindro permanece:
Como estamos interessados na região fora do cilindro ( ) e dentro da esfera, precisamos encontrar os limites para em termos de :
Isso nos indica que, para cada valor de entre e (raio da esfera), varia de até .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui:
  • varia de a para cobrir toda a volta circular.
  • varia de a para abranger a zona fora do cilindro e dentro da esfera.
  • varia conforme definido anteriormente para cada .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a , fazemos uma substituição para simplificar:
Deixe , então . Portanto, .
A integral em torna-se:
Calculando essa integral:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido dentro da esfera e fora do cilindro é unidades cúbicas.

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