Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer verificar se a integral converge ou não. Isso envolve cálculo de integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando
tende a
e perto do ponto de descontinuidade, que no caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral impropria pode divergir ou convergir dependendo do comportamento da função nos limites de integração. No nosso caso, o limite inferior é
, então vamos focar em como se comporta à medida que
vai para
.
Passo 3
Sabemos que oscila entre 0 e 1 para todo valor de
. Portanto, estará sempre entre 0 e
. Assim, podemos comparar nossa integral com
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral comparativa
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos deixar
tendendo para
:
Isso mostra que
converge e seu valor é 1.
Passo 6
Como para todo
em
, e a integral de
converge, pela comparação, a integral original também converge.
Resposta
A integral converge.