Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral-infty^-1 sen^2 xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer verificar se a integral converge ou não. Isso envolve cálculo de integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando tende a e perto do ponto de descontinuidade, que no caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral impropria pode divergir ou convergir dependendo do comportamento da função nos limites de integração. No nosso caso, o limite inferior é , então vamos focar em como se comporta à medida que vai para .

Passo 3

Sabemos que oscila entre 0 e 1 para todo valor de . Portanto, estará sempre entre 0 e . Assim, podemos comparar nossa integral com .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral comparativa integral-A^-1 1x^2 dx = [-1x]-A^-1 = (-1-1) - (-1-A) = 1 - 1A . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos deixar limA to infty (1 - 1A) = 1 - 0 = 1 tendendo para :
Isso mostra que converge e seu valor é 1.

Passo 6

Como para todo em , e a integral de converge, pela comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral converge.

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