Seja
a circunferência
. Utilize o teorema de Green para calcular integral
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral de linha
, onde
é a circunferência
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por
. Isso é ótimo porque às vezes é mais fácil calcular a integral dupla do que a integral de linha diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
onde
e
é a região dentro de
. No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo no Teorema de Green:
Então, a integral de linha se transforma numa integral dupla constante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região
, que é o interior da circunferência
. Como a região é um círculo, é mais fácil usar coordenadas polares. Em coordenadas polares,
, e os limites serão
de 0 a
e
de 0 a
.
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Resposta
A integral
vale
.