Seja C a circunferência x^2+y^2=epsilon^2. Utilize o teorema de Green para calcular integral ointC F cdot d r onde
F(x, y)=(x^2-y) i+(e^y^2+x) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral de linha , onde é a circunferência e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por . Isso é ótimo porque às vezes é mais fácil calcular a integral dupla do que a integral de linha diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde e é a região dentro de . No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^y^2 + x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 - y) = -1
Agora, substituindo no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2
Então, a integral de linha se transforma numa integral dupla constante:
ointC F cdot d r = integral duplaD 2 , dA

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região integral duplaD 2 , dA = 2 integral0^2pi integral0^epsilon r , dr , dtheta , que é o interior da circunferência integral0^epsilon r , dr = [ r^22 ]0^epsilon = epsilon^22 . Como a região é um círculo, é mais fácil usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, 2 integral0^2pi epsilon^22 , dtheta = epsilon^2 integral0^2pi dtheta = epsilon^2 cdot 2pi = 2pi epsilon^2 , e os limites serão de 0 a e de 0 a .
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:

Resposta

A integral vale .

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