Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
acima do retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico definido por
e acima do retângulo
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o volume entre uma superfície e uma região no plano xy. Basicamente, queremos somar todos os pequenos pedaços de volume sobre cada ponto da região
. Para isso, usamos integrais duplas.
Passo 3
A função que define a superfície é
. O volume
pode ser calculado integrando essa função sobre a região
. Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região
é um retângulo com
variando de -1 a 1 e
variando de -2 a 2. Portanto, nossos limites de integração são:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
. Avaliando de -1 a 1:
Calculando:
Passo 7
Agora, temos que integrar o resultado
em relação a
de -2 a 2:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 9
Avaliando de -2 a 2:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Prove que
usando
(b) a identidade e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
(b) a identidade
Prove que
usando
(a) as definições de .
(a) as definições de
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)
(b)
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(a)
(a)