Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3y^2 - x^2 acima do retângulo R = [-1, 1] x [-2, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico definido por e acima do retângulo . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o volume entre uma superfície e uma região no plano xy. Basicamente, queremos somar todos os pequenos pedaços de volume sobre cada ponto da região . Para isso, usamos integrais duplas.

Passo 3

A função que define a superfície é . O volume pode ser calculado integrando essa função sobre a região . Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região é um retângulo com variando de -1 a 1 e variando de -2 a 2. Portanto, nossos limites de integração são:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral de em relação a é , e a integral de é . Avaliando de -1 a 1:
Calculando:

Passo 7

Agora, temos que integrar o resultado em relação a de -2 a 2:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 9

Avaliando de -2 a 2:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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