Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de diferenciar a função
e identificar a região onde ela é analítica. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo complexo, especificamente a regra da cadeia para derivadas e o conceito de funções analíticas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a função
. Usamos a regra da cadeia, que basicamente nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
A função externa é
, onde
. A derivada da função externa em relação a
é
.
A função interna é
, e a sua derivada em relação a
é
.
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a região onde a função
é analítica. Uma função é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. No caso de funções exponenciais complexas, elas são chamadas de funções inteiras, o que significa que são analíticas em todo o plano complexo
.
Como
é uma função inteira e a composição de funções inteiras também é inteira,
é analítica em todo o plano complexo.
Resposta
A derivada da função
é
. Além disso, a função
é analítica em todo o plano complexo
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
acima do retângulo
.
Prove que
usando
(b) a identidade e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
(b) a identidade
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(a)
(a)
Construa o gráfico das funções, considerando
: