Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de diferenciar a função e identificar a região onde ela é analítica. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo complexo, especificamente a regra da cadeia para derivadas e o conceito de funções analíticas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a função . Usamos a regra da cadeia, que basicamente nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
A função externa é , onde . A derivada da função externa em relação a é .
A função interna é , e a sua derivada em relação a é .
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a região onde a função é analítica. Uma função é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. No caso de funções exponenciais complexas, elas são chamadas de funções inteiras, o que significa que são analíticas em todo o plano complexo .
Como é uma função inteira e a composição de funções inteiras também é inteira, é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A derivada da função é . Além disso, a função é analítica em todo o plano complexo .

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Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico acima do retângulo .
Prove que usando
(b) a identidade e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(a)
Construa o gráfico das funções, considerando :