Prove que senh(2z) = 2 senh(z) cosh(z) usando
(a) as definições de senh(z) e cosh(z).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: provar que usando as definições de e . Para isso, vamos precisar lembrar as definições dessas funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições de e :
Essas fórmulas nos mostram como expressar as funções hiperbólicas em termos das exponenciais e .

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a definição de :
Isso nos dá a expressão de diretamente a partir da definição.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular . Primeiro, substituímos as definições de e :
Simplificando os fatores:

Passo 5

Vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade :
Portanto, temos:

Passo 6

Observamos que também é igual a . Portanto, concluímos que:

Resposta

Assim, comprovamos que .

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