Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem que diferenciar a função
e descobrir onde essa função é analítica. A matéria que estamos usando aqui é de Cálculo Complexo, especificamente sobre derivadas de funções de variável complexa e regiões de analiticidade. Vamos precisar usar regras de diferenciação e conhecer um pouco sobre funções analíticas no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da função separadamente. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então vamos tratar cada parte de
individualmente.
Passo 3
Começando com o primeiro termo,
:
A derivada de é
. Então, a derivada de
é:
A derivada de
Passo 4
Agora, o segundo termo, que é uma constante:
:
A derivada de uma constante é zero:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 5
O terceiro termo é
:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é
. Vamos definir
e
.
Primeiro, derivamos :
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
Primeiro, derivamos
Depois, derivamos
:
Agora aplicamos a regra do produto:
Passo 6
O último termo é
:
A derivada de onde k é uma constante é
. Aqui,
, então:
A derivada de
Passo 7
Agora, juntamos todas as derivadas:
Simplificando:
Passo 8
Em relação à analiticidade, uma função é analítica em uma região se ela for diferenciável em todos os pontos dessa região. As funções polinomiais e as funções exponenciais são analíticas em todo o plano complexo. Portanto, nossa função
é analítica em toda a região complexa.
Resposta
A derivada da função é
e ela é analítica em todo o plano complexo.
Exercícios relacionados
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)
(b)
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
acima do retângulo
.
Construa o gráfico das funções, considerando
:
Dada as funções:
-
II.
Indique:
As coordenadas do vértice e o ponto de máximo ou mínimo.