Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(a)

Passo 1

Então, a gente tem que diferenciar a função e descobrir onde essa função é analítica. A matéria que estamos usando aqui é de Cálculo Complexo, especificamente sobre derivadas de funções de variável complexa e regiões de analiticidade. Vamos precisar usar regras de diferenciação e conhecer um pouco sobre funções analíticas no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da função separadamente. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então vamos tratar cada parte de individualmente.

Passo 3

Começando com o primeiro termo, :
A derivada de é . Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, o segundo termo, que é uma constante: :
A derivada de uma constante é zero:

Passo 5

O terceiro termo é :
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Vamos definir e .
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Agora aplicamos a regra do produto:

Passo 6

O último termo é :
A derivada de onde k é uma constante é . Aqui, , então:

Passo 7

Agora, juntamos todas as derivadas:
Simplificando:

Passo 8

Em relação à analiticidade, uma função é analítica em uma região se ela for diferenciável em todos os pontos dessa região. As funções polinomiais e as funções exponenciais são analíticas em todo o plano complexo. Portanto, nossa função é analítica em toda a região complexa.

Resposta

A derivada da função é e ela é analítica em todo o plano complexo.

Exercícios relacionados

Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico acima do retângulo .
Construa o gráfico das funções, considerando :
Dada as funções:

  1. II.
    Indique:
    As coordenadas do vértice e o ponto de máximo ou mínimo.