Prove que usando
(b) a identidade e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que usando a identidade trigonométrica e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas. Vamos precisar entender como as funções hiperbólicas se relacionam com as trigonométricas para fazer essa prova.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que as funções hiperbólicas, como e , são semelhantes às funções trigonométricas e , mas são definidas de forma diferente. As funções hiperbólicas são definidas usando exponenciais:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica dada: . A ideia é traçar um paralelo entre essa identidade trigonométrica e a hiperbólica que queremos provar.

Passo 4

Sabendo que as funções hiperbólicas seguem propriedades semelhantes às trigonométricas, podemos supor que uma identidade similar vale para elas. Ou seja, esperamos que:

Passo 5

Para provar isso, vamos calcular usando a definição de :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Observamos que:

Resposta

Portanto, provamos que usando a identidade trigonométrica e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.

Exercícios relacionados

Prove que usando
(a) as definições de .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico acima do retângulo .
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)