Prove que
usando
(b) a identidade
e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
(b) a identidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
usando a identidade trigonométrica
e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas. Vamos precisar entender como as funções hiperbólicas se relacionam com as trigonométricas para fazer essa prova.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que as funções hiperbólicas, como
e
, são semelhantes às funções trigonométricas
e
, mas são definidas de forma diferente. As funções hiperbólicas são definidas usando exponenciais:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica dada:
. A ideia é traçar um paralelo entre essa identidade trigonométrica e a hiperbólica que queremos provar.
Passo 4
Sabendo que as funções hiperbólicas seguem propriedades semelhantes às trigonométricas, podemos supor que uma identidade similar vale para elas. Ou seja, esperamos que:
Passo 5
Para provar isso, vamos calcular
usando a definição de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Observamos que:
Resposta
Portanto, provamos que
usando a identidade trigonométrica e as relações entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
Exercícios relacionados
Prove que
usando
(a) as definições de .
(a) as definições de
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
acima do retângulo
.
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(b)
(b)