integral0^2 integral0^pi / 3 t^2 sen^3 phi d phi d t

Passo 1

Vamos resolver o integral duplo . Esse exercício envolve cálculos de integrais duplos, onde precisamos integrar uma função que depende de duas variáveis: e . Para resolver, vamos dividir o problema em partes mais simples, integrando primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, podemos separar o integral duplo em dois integrais simples, já que a função integral0^2 integral0^pi / 3 t^2 sin^3 phi , dphi , dt = ( integral0^2 t^2 , dt ) times ( integral0^pi / 3 sin^3 phi , dphi ) é o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de . Assim, temos:

Passo 3

Vamos calcular o primeiro integral: integral0^2 t^2 , dt = [ t^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 .
A integral de em relação a é . Assim:

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo integral: integral sin^3 phi , dphi = integral sin phi (1 - cos^2 phi) , dphi = -integral (1 - u^2) , du = -u + u^33 + C .
Para integrar = -cos phi + cos^3 phi3 + C , podemos reescrever [ -cos phi + cos^3 phi3 ]0^pi / 3 = ( -12 + (12)^33 ) - ( -1 + 1^33 ) como = ( -12 + 124 ) - ( -1 + 13 ) = -1124 + 23 = 524 e usar a substituição , :
Voltando para :
Agora, avaliando os limites de a :
Simplificando:

Resposta

Multiplicando os resultados dos dois integrais:
83 times 524 = 4072 = 59
Portanto, o valor do integral é .

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