Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 : x^2 y'' + (1+x) y' + 3(ln x) y = 0, y(1) = 2, y'(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar expandir a solução em uma série de potências ao redor de e encontrar os primeiros cinco termos dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expansão ao redor de . Vamos definir , de modo que . Assim, a expansão será em termos de .

Passo 3

Agora, assumimos que a solução pode ser expressa como uma série de potências em :
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituindo , , e na equação diferencial, temos:
Vamos expandir cada termo até a ordem .

Passo 6

Expandindo os termos:

Passo 7

Multiplicando e coletando os termos semelhantes até , obtemos uma série em termos de . Para que a equação seja satisfeita para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dará um sistema de equações para determinar os coeficientes .

Passo 8

Aplicando as condições iniciais e :
  • Para (ou seja, ):

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações obtido, encontraremos os valores de e . Após os cálculos, os coeficientes são:

Resposta

A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
onde .

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