Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar expandir a solução
em uma série de potências ao redor de
e encontrar os primeiros cinco termos dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expansão ao redor de
. Vamos definir
, de modo que
. Assim, a expansão será em termos de
.
Passo 3
Agora, assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em
:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na equação diferencial, temos:
Vamos expandir cada termo até a ordem
.
Passo 6
Expandindo os termos:
Passo 7
Multiplicando e coletando os termos semelhantes até
, obtemos uma série em termos de
. Para que a equação seja satisfeita para todos os valores de
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dará um sistema de equações para determinar os coeficientes
.
Passo 8
Aplicando as condições iniciais
e
:
- Para
(ou seja, ): -
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações obtido, encontraremos os valores de
e
. Após os cálculos, os coeficientes são:
Resposta
A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
onde
.