Determine o volume do sólido que se encontra abajxo do plano 2x + 5y + z - 10 = 0 e acima do
retângulo R = {(x, y) | 0 <= x <= 5, 0 <= y <= 2}. (5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar a matemática de integrais duplas, que ajuda a calcular volumes sob superfícies em regiões específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o na equação do plano para facilitar a integração. A equação do plano é:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, para encontrar o volume, vamos integrar a função sobre a região . A integral dupla que representa o volume é:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . Mantendo constante:
Calculando nos limites:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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