Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a área e calcular uma integral em coordenadas polares. A integral é
. Então, vamos precisar entender coordenadas polares e como calcular integrais duplas nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. Em coordenadas polares,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo de
. A integral dupla que temos está calculando uma área ou algum valor acumulado sobre essa área, multiplicado por
por causa da mudança de coordenadas.
Passo 3
Vamos esboçar a área. Os limites de
vão de 0 a 2, então estamos considerando pontos que estão do centro (origem) até uma distância de 2 unidades. Já o
varia de 0 a
, ou seja, de 0 a 90 graus. Isso significa que a área é um setor de círculo com raio 2 e ângulo de 90 graus.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
A integral de
é
. Avaliando de 0 a 2:
Passo 5
Agora, com o resultado da primeira integral, integramos em relação a
:
Essa integral é simplesmente
. Avaliando de 0 a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Wha carga elétricaé distribuída sobre o retângulo
, de modo que a densidade de carga em
é
. Determine a carga total no retângulo. ( 7 pontos)
Determine o volume do sólido que se encontra abajxo do plano
e acima do
retângulo . (5 pontos)
retângulo