Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a área e calcular uma integral em coordenadas polares. A integral é . Então, vamos precisar entender coordenadas polares e como calcular integrais duplas nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. Em coordenadas polares, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo de . A integral dupla que temos está calculando uma área ou algum valor acumulado sobre essa área, multiplicado por por causa da mudança de coordenadas.

Passo 3

Vamos esboçar a área. Os limites de vão de 0 a 2, então estamos considerando pontos que estão do centro (origem) até uma distância de 2 unidades. Já o varia de 0 a , ou seja, de 0 a 90 graus. Isso significa que a área é um setor de círculo com raio 2 e ângulo de 90 graus.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a :
A integral de é . Avaliando de 0 a 2:

Passo 5

Agora, com o resultado da primeira integral, integramos em relação a :
Essa integral é simplesmente . Avaliando de 0 a :

Resposta

O valor da integral é .

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Wha carga elétricaé distribuída sobre o retângulo , de modo que a densidade de carga em é . Determine a carga total no retângulo. ( 7 pontos)
Determine o volume do sólido que se encontra abajxo do plano e acima do
retângulo . (5 pontos)
, onde é a elipse .
, onde é a fronteira da região .