Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares. integral0^pi2 integral0^2 r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a área e calcular uma integral em coordenadas polares. A integral é integral0^pi2 integral0^2 r , dr , dtheta. Então, vamos precisar entender coordenadas polares e como calcular integrais duplas nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. Em coordenadas polares, r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo de x. A integral dupla que temos está calculando uma área ou algum valor acumulado sobre essa área, multiplicado por r por causa da mudança de coordenadas.

Passo 3

Vamos esboçar a área. Os limites de r vão de 0 a 2, então estamos considerando pontos que estão do centro (origem) até uma distância de 2 unidades. Já o theta varia de 0 a pi2, ou seja, de 0 a 90 graus. Isso significa que a área é um setor de círculo com raio 2 e ângulo de 90 graus.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^2 r , dr
A integral de r , dr é 12r^2. Avaliando de 0 a 2:
12 times (2)^2 - 12 times (0)^2 = 12 times 4 = 2

Passo 5

Agora, com o resultado da primeira integral, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 2 , dtheta
Essa integral é simplesmente 2 times theta. Avaliando de 0 a pi2:
2 times pi2 - 2 times 0 = pi

Resposta

O valor da integral é pi.

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