Wha carga elétricaé distribuída sobre o retângulo , de modo que a densidade de carga em é . Determine a carga total no retângulo. ( 7 pontos)

Passo 1

Beleza! A gente tem um retângulo definido por e . A densidade de carga elétrica nesse retângulo é dada por . Nosso objetivo é descobrir qual é a carga total distribuída nesse retângulo. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que ajudam a somar todas as pequenas cargas espalhadas pela área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a carga total ( ) é obtida integrando a densidade de carga sobre toda a área do retângulo. A fórmula para isso é:

Passo 3

Substituindo a expressão da densidade de carga, temos:
Vamos primeiro integrar em relação a .

Passo 4

Integrando em relação a , tratamos como constante:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Calculando cada integral:
Somando os dois resultados:

Resposta

A carga total no retângulo é unidades de carga.

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Determine o volume do sólido que se encontra abajxo do plano e acima do
retângulo . (5 pontos)
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Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares.
, onde é a elipse .