Wha carga elétricaé distribuída sobre o retângulo 0 <= x <= 5, 2 <= y <= 5, de modo que a densidade de carga em (x, y) é sigma(x, y) = 3*x + y. Determine a carga total no retângulo. ( 7 pontos)

Passo 1

Beleza! A gente tem um retângulo definido por e 2 <= y <= 5. A densidade de carga elétrica nesse retângulo é dada por . Nosso objetivo é descobrir qual é a carga total distribuída nesse retângulo. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que ajudam a somar todas as pequenas cargas espalhadas pela área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a carga total ( Q) é obtida integrando a densidade de carga sigma(x, y) sobre toda a área do retângulo. A fórmula para isso é:

Passo 3

Substituindo a expressão da densidade de carga, temos:
Vamos primeiro integrar em relação a y.

Passo 4

Integrando em relação a y, tratamos x como constante:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
Calculando cada integral:
Somando os dois resultados:

Resposta

A carga total no retângulo é unidades de carga.

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