Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a forma diferente é exata. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial da qual ela deriva. Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, especificamente sobre formas diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar verificar as condições de exatidão e, se forem satisfeitas, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma exata. Uma forma diferencial é exata se existir uma função tal que:
Ou seja, temos que:
Para que a forma seja exata, as condições de integrabilidade devem ser satisfeitas, que no caso tridimensional são:

Passo 3

Vamos identificar , e da forma dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeira condição:
Como , já vemos que a primeira condição não é satisfeita. Isso significa que a forma não é exata.

Resposta

A forma não é exata.

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Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
a)
Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
b) .
Seja colcule rot .
Determine o volume do sólido que se encontra abajxo do plano e acima do
retângulo . (5 pontos)