, onde é a intersecção das superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral , onde é a curva de intersecção das superfícies e . Aqui, estamos lidando com cálculo integral de linha, especificamente integrando uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma da curva e parametrizá-la para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva . Temos que e também . Igualando as duas equações, temos:
Isso descreve um círculo no plano com raio e centro na origem.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo com raio , podemos usar coordenadas polares para facilitar. Podemos definir:
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o elemento de arco . Para isso, derivamos , e em relação a :
Então,

Passo 5

Agora, substituímos as parametrizações de e na função que vamos integrar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos agora calcular a integral:
Sabemos que:
Portanto,

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Em cada caso, calcule a derivada indicada da função .
(b)
Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas e . Para isso: Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Calcule, caso existam, as derivadas parciais e .
(a) Verifique que .