, onde
é a intersecção das superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
, onde
é a curva de intersecção das superfícies
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral de linha, especificamente integrando uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma da curva
e parametrizá-la para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva
. Temos que
e também
. Igualando as duas equações, temos:
Isso descreve um círculo no plano
com raio
e centro na origem.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo com raio
, podemos usar coordenadas polares para facilitar. Podemos definir:
onde
varia de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o elemento de arco
. Para isso, derivamos
,
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos as parametrizações de
e
na função que vamos integrar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos agora calcular a integral:
Sabemos que:
Portanto,
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função
.
(b)
(b)
Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
. Para isso: Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Calcule, caso existam, as derivadas parciais
e
.
(a) Verifique que
.