integralC(x+y) d s, onde C é a intersecção das superfícies z=x^2+y^2 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integralC(x+y) , ds, onde C é a curva de intersecção das superfícies z = x^2 + y^2 e z = 4. Aqui, estamos lidando com cálculo integral de linha, especificamente integrando uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma da curva C e parametrizá-la para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva C. Temos que z = x^2 + y^2 e também z = 4. Igualando as duas equações, temos:
x^2 + y^2 = 4
Isso descreve um círculo no plano z = 4 com raio 2 e centro na origem.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo com raio 2, podemos usar coordenadas polares para facilitar. Podemos definir:
x = 2costheta y = 2sintheta z = 4
onde theta varia de 0 a 2pi para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o elemento de arco ds. Para isso, derivamos x, y e z em relação a theta:
dxdtheta = -2sintheta dydtheta = 2costheta dzdtheta = 0
Então,
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta ds = raiz(-2sintheta)^2 + (2costheta)^2 + 0 , dtheta ds = raiz4sin^2theta + 4cos^2theta , dtheta ds = raiz4(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta ds = raiz4 cdot 1 , dtheta ds = 2 , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos as parametrizações de x e y na função que vamos integrar:
x + y = 2costheta + 2sintheta
Então, a integral fica:
integralC(x+y) , ds = integral0^2pi (2costheta + 2sintheta) cdot 2 , dtheta = 2 integral0^2pi (2costheta + 2sintheta) , dtheta = 4 integral0^2pi (costheta + sintheta) , dtheta

Passo 6

Vamos agora calcular a integral:
4 integral0^2pi costheta , dtheta + 4 integral0^2pi sintheta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0 integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Portanto,
4 cdot 0 + 4 cdot 0 = 0

Resposta

A integral integralC(x+y) , ds vale 0.

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