Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelas funções
,
,
e
gira em torno do eixo das ordenadas (o eixo
). Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas são
(uma parábola que abre para cima),
(o eixo
),
(uma linha horizontal) e
(o eixo
). Essa região vai de
até
.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo das ordenadas (
), o método dos discos é uma ótima escolha. Nesse método, imaginamos fatias fininhas do sólido com uma espessura
. O raio de cada disco será a distância do eixo de rotação até a curva
. Precisamos expressar
em termos de
para isso.
Passo 4
A equação
pode ser rearranjada para
. Esse
será o raio do nosso disco em cada
.
Passo 5
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
e
, e o raio é
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Simplificando
para
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir.
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por
e
gira em torno das retas:
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d)
(d)