Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x^2, y = 0, y = 1 e x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelas funções , , e gira em torno do eixo das ordenadas (o eixo ). Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas são (uma parábola que abre para cima), (o eixo ), (uma linha horizontal) e (o eixo ). Essa região vai de até .

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo das ordenadas ( ), o método dos discos é uma ótima escolha. Nesse método, imaginamos fatias fininhas do sólido com uma espessura . O raio de cada disco será a distância do eixo de rotação até a curva . Precisamos expressar em termos de para isso.

Passo 4

A equação pode ser rearranjada para . Esse será o raio do nosso disco em cada .

Passo 5

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, e , e o raio é .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Simplificando para :

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x + 1, y = 1, y = 2 e x = 0.
Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir. x^3 - 10 x^2 + x y - 10 y
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
y = -3.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d) (1+x^2) y' + 4 x y = (1+x^2)^-2