Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
cal
cal
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso aqui é uma equação diferencial linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Basicamente, esse método nos ajuda a transformar a equação num formato que facilita achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Ela está no formato padrão de uma equação linear:
Aqui,
e
. Para aplicar o método, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna ela mais fácil de resolver.
Passo 3
O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular isso:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação vai se tornar a derivada de
. Vamos verificar:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Já a integral do lado direito,
, é
(porque a derivada de
é
).
Então temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante real qualquer.
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e
gira em torno das retas:
.