Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
cal x' + tg(t) x = tg(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso aqui é uma equação diferencial linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Basicamente, esse método nos ajuda a transformar a equação num formato que facilita achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Ela está no formato padrão de uma equação linear:
Aqui, e . Para aplicar o método, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna ela mais fácil de resolver.

Passo 3

O fator integrante, , é dado por:
Vamos calcular isso:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação vai se tornar a derivada de . Vamos verificar:
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Já a integral do lado direito, , é (porque a derivada de é ).
Então temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos isolar :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante real qualquer.

Exercícios relacionados

Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 2 a * sen(theta).
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = e^(theta) ; 0 <= theta <= pi / 3.
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 3 theta^2 ; 0 <= theta <= 2 pi / 3.
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
x = -2.