Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
e) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando giramos uma região em torno do eixo . A região em questão é definida por três condições:
  1. (ou seja, estamos só em cima do eixo ),
  2. (o varia de 1 a 2),
  3. .
Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. A desigualdade pode ser rearranjada para expressar em função de :
Como também temos , nossa região está entre e , para de 1 a 2.

Passo 3

Agora, vamos configurar o integral para calcular o volume. Usando o método dos discos, a fórmula geral para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, é a função que define a borda da região. No nosso caso, . Os limites de integração são de a .

Passo 4

Vamos montar o integral com os valores que temos:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Então, o integral fica:
Agora, vamos calcular esse integral:
Avaliando de 1 a 2:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o volume do sólido é:
ú

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e .
b) .
c) e .
d) e
e) e .
f) e .
g)
h) e .
i) e .
j) e
l) e .
m) .
Determine o volume do tronco de cone circular reto gerado pela rotação do segmento de reta que passa por e em torno do eixo .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta , da região limitada pela curva e pelas retas e e à direita de .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola e pela reta .