Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
e)
e
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando giramos uma região em torno do eixo
. A região em questão é definida por três condições:
-
(ou seja, estamos só em cima do eixo ), -
(o varia de 1 a 2), -
.
Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. A desigualdade
pode ser rearranjada para expressar
em função de
:
Como também temos
, nossa região está entre
e
, para
de 1 a 2.
Passo 3
Agora, vamos configurar o integral para calcular o volume. Usando o método dos discos, a fórmula geral para o volume
quando giramos em torno do eixo
é:
Aqui,
é a função que define a borda da região. No nosso caso,
. Os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Vamos montar o integral com os valores que temos:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Então, o integral fica:
Agora, vamos calcular esse integral:
Avaliando de 1 a 2:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é: